\(\left(1-x\right)\left(1+x+x^2+...+x^{31}\right)=1-x^{32}\)

\(\left(1-x\right)\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)\left(1+x^4\right)\left(1+x^8\right)\left(1+x^{16}\right)\)

\(=\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right)\left(1+x^4\right)\left(1+x^8\right)\left(1+x^{16}\right)\)

\(=\left(1-x^4\right)\left(1+x^4\right)\left(1+x^8\right)\left(1+x^{16}\right)\)

\(=\left(1-x^8\right)\left(1+x^8\right)\left(1+x^{16}\right)\)

\(=\left(1-x^{16}\right)\left(1+x^{16}\right)\)

\(=1-x^{32}\)

Ta có đpcm. 

2) Ta có:

\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\)

Áp dụng BĐT Schwarz:

\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)

Mà x+y=1 nên suy ra:

\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge4\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\ge8\)

=>đpcm.

Dấu ''='' xảy ra khi x=y=1/2

giúp minh với nha

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(2^x;2^y;2^z\right)\)\(\left(a,b,c>0\right)\)\(\Rightarrow\)\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{2^{x+y+z}}=3\sqrt[3]{2^6}=12\)

bđt đề bài \(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Dễ dàng chứng minh bđt trên với bđt phụ \(a^3-4a^2\ge16a-64\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-4\right)^2\left(a+4\right)\ge0\) luon dung 

\(\Rightarrow\)\(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)+16\left(a+b+c\right)-192\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=2; ta có : \(\sqrt[3]{8^x.8^x}=\sqrt[3]{64^x}=4^x\)

\(8^x+8^x+8^2\ge3\sqrt[3]{8^x.8^x.8^2}=12.4^x\)

\(8^y+8^y+8^2\ge12.4^y\)

\(8^z+8^z+8^2\ge12.4^z\)

Cộng 3 vế BĐT trên => đpcm

Một cách khác:

Đặt $(2^x,2^y,2^z)=(a,b,c)\Rightarrow abc=2^{x+y+z}=2^6=64$

Bài toán trở thành:

Cho $a,b,c>0$ sao cho $abc=64$. CMR: $a^3+b^3+c^3\geq 4(a^2+b^2+c^2)$

------------------------------

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky và AM-GM:

$(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}(1)\)

Mà: \(a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq \frac{(a+b+c).3\sqrt[3]{abc}}{3}=\frac{(a+b+c).3\sqrt[3]{64}}{3}=4(a+b+c)(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2).4(a+b+c)}{a+b+c}=4(a^2+b^2+c^2)\) (đpcm)

Vậy.......