a) Nhân cả tử và mẫu với 2.4.6...40 ta được :

\(\frac{1.3.5...39}{21.22.23...40}\)=\(\frac{\left(1.3.5...39\right)\left(2.4.6..40\right)}{\left(21.22.23...40\right)\left(2.4.6...40\right)}\)

= \(\frac{1.2.3...39.40}{21.22.23...40.\left(1.2.3...20\right).2^{20}}\)

=\(\frac{1}{2^{20}}\)

b) Nhân cả tử và mẫu với 2.4.6...2n rồi biến đổi như câu a.

Cảm ơn bạn

Ta có: \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{19}-\frac{1}{20}=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{19}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{20}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{19}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{20}\right)-2.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{20}\right)=\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{19}+\frac{1}{20}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{10}\right)=\)

= 1/11 + 1/12 +1/13+...+1/20 (đpcm)

Bài 1:

Áp dụng bất đẳng thức AM-MG ta có:

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab};\dfrac{a+c}{2}\ge\sqrt{ac};\dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+c}{2}+\dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right).2}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\) (đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!

AM-GM chứ

bài 1:

ta có \(\frac{1}{1!}=1\)

\(\frac{1}{2!}=\frac{1}{1\cdot2}\)

\(\frac{1}{3!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}=\frac{1}{2\cdot3}\)

bắt đầu từ đây ta giảm mẫu số:

\(\frac{1}{4!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}<\frac{1}{3\cdot4}\)

... tới \(\frac{1}{2012!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot2011\cdot2012}<\frac{1}{2011\cdot2012}\)

thay vào biểu thức S

=> \(S<1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{2011\cdot2012}\)

áp dụng công thức: \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

=> \(S=1+1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)

\(S<2-\frac{1}{2012}\)

mà \(\frac{1}{2012}>0\)

=> \(S<2\)

bài 2:

Ta có công thức: \(\frac{1}{\left(n+1\right)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{\left(n+1\right)!}\)

=> \(\frac{9}{10!}=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}\)

\(\frac{10}{11!}=\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}\)

\(\frac{11}{12!}=\frac{1}{11!}-\frac{1}{12!}\)

... tới: \(\frac{99}{100!}=\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}\)

thay vào biểu thức ta gọi biểu thức là A

\(A=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}+\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}+\cdots+\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}\)

A=\(\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}\)

mà \(\frac{1}{100!}>0\Rightarrow\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}<\frac{1}{9!}\)

vậy \(A<\frac{1}{9!}\)

Ta có A<1/1.2+1/2.3+1/3.4+....+1/19.20

A<1-1/2=1/2-1/3+..+1/19-1/20

A<1-1/20=19/20

Ta có 19/20<19/22(so sánh 2 phân số cùng tử)=>A<19/22  (1)

Ta có A>1/2.3+1/3.4+...+1/20.21

A>1/2-1/3+1/3-1/4+........+1/20-1/21

A>1/2-1/21=20/42

Ta có 20/42>19/42(so sánh 2 phân số cùng mẫu)=>A>19/42  (2)

Từ (1) và (2) =>19/42<A<19/22