\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

\(\Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2\)

Ta có:

\(\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ac}{b^2}+\dfrac{ab}{c^2}=\dfrac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^2b^2c^2}=\dfrac{3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=3\)

Ta có $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)$

$=a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2+4(a^2+b^2+c^2)+8

Suy ra $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)-18-3(a^2+b^2+c^2)$

$=a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2+(a^2+b^2+c^2)-10$

Đặt $s=a^2+b^2+c^2$

Ta có $s\ge ab+bc+ca=3$ và $\sum a^2b^2\ge ab+bc+ca=3$

(vì $ab+bc+ca=3$ và $\sum a^2b^2\ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{3}$).

Do đó $a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2+s-10$$\ge 0+2\cdot3+3-10$$=-1$

Mặt khác $\sum a^2b^2\ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{3}=3$ nên $a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2+s-10$

$\ge a^2b^2c^2+s-4$

Lại có $(ab+bc+ca)^2\ge 3abc(a+b+c)$

$\Rightarrow a+b+c\le \dfrac3{abc}$ và $s=(a+b+c)^2-6\ge \dfrac9{a^2b^2c^2}-6$

Đặt $t=abc$.

Khi đó $a^2b^2c^2+s-4\ge t^2+\dfrac9{t^2}-10$

$=\left(t-\dfrac3t\right)^2-4\ge0$

(vì từ $ab+bc+ca=3$ suy ra $t\le1$).

Vậy $\boxed{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)-18\ge 3(a^2+b^2+c^2)}.$

Dấu bằng khi $\boxed{a=b=c=1.}$

Đề bài sai, phản ví dụ: \(a=b=0,c=1\)

BĐT này chỉ đúng khi a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

đề học sinh giỏi cấp huyện

TA có: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)^2\)

\(=3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2ac-2bc\)

\(=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\)

\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2+c^2-2bc\right)=\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

=>\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\) (1)

Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+ac+bc\right)\)

\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-3ab-3ac-3bc\)

\(=a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\frac12\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\right)\)

\(=\frac12\cdot\left\lbrack\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2+c^2-2bc\right)\right\rbrack\)

\(=\frac12\cdot\left\lbrack\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\right\rbrack>=0\forall a,b,c\)

=>\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)

Ta có: `a, b, c` là các cạnh của tam giác

`-` Theo bất đẳng thức tam giác ta có: `A+B>C -> AB+AC>A^2`

Tương tự vế trên 

`-> CA+CB>C^2 ; AB+BC>B^2`

Cộng tổng tất cả các vế trên: `AC+BC+AB+AC+AB+BC > A^2+B^2+C^2`

`-> 2 (AB+AC+BC) > A^2+B^2+C^2 (đpcm)`

Tỷ lệ thức này sai nhé!

Đúng thì phải theo kết quả của lời giải này nhé!

Ta có: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_{2010}}{a_{2011}}=k\Rightarrow k^{2010}=\frac{a_1.a_2...a_{2010}}{a_2.a_3...a_{2011}}=\frac{a_1}{a_{2011}}\)

Mà \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_{2010}}{a_{2011}}=k=\frac{a_1+a_2+...+a_{2010}}{a_2+a_3+...+a_{2011}}\)

Vậy \(\frac{a_1}{a_{2011}}=\left(\frac{a_1+a_2+...+a_{2010}}{a_2+a_3+...+a_{2011}}\right)^{2010}=k^{2010}\)

\(a,\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\Rightarrow\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}=\frac{a+b+a-b}{c+a+c-a}=\frac{2a}{2c}=\frac{a}{c}\)

\(\text{Suy ra: }\frac{a+b}{c+a}=\frac{a}{c}\Rightarrow c.\left(a+b\right)=a.\left(c+a\right)\Rightarrow ac+bc=ac+a^2\)

=>a²=bc

b)Viết đề rõ lại giúp