a: ΔCAB vuông tại A

=>\(CA^2+AB^2=BC^2\)

=>\(CA^2=10^2-6^2=64\)

=>CA=8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\BH\cdot BC=BA^2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot10=6\cdot8=48\\BH\cdot10=6^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=\dfrac{48}{10}=4,8\left(cm\right)\\BH=\dfrac{36}{10}=3,6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (A;AH) có

AH là bán kính

BC\(\perp\)AH tại H

Do đó: BC là tiếp tuyến của (A;AH)

Xét (A;AH) có

BH,BD là tiếp tuyến

Do đó: BH=BD=3,6(cm)

b: Xét (A;AH) có

BH,BD là tiếp tuyến

Do đó: AB là phân giác của góc HAD

=>\(\widehat{HAD}=2\cdot\widehat{HAB}\)

Xét (A;AH) có

CE,CH là tiếp tuyến

Do đó: CH=CE và AC là phân giác của góc EAH

=>\(\widehat{EAH}=2\cdot\widehat{HAC}\)

\(\widehat{EAH}+\widehat{DAH}=\widehat{EAD}\)

=>\(\widehat{EAD}=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

=>\(\widehat{EAD}=2\cdot90^0=180^0\)

=>E,A,D thẳng hàng

c: Xét tứ giác AHBD có

\(\widehat{AHB}+\widehat{ADB}=90^0+90^0=180^0\)

=>AHBD là tứ giác nội tiếp

=>A,H,B,D cùng thuộc một đường tròn

Cs hình kh ạ

a: Xét tứ giác AHCE có \(\hat{AHC}+\hat{AEC}=90^0+90^0=180^0\)

nên AHCE là tứ giác nội tiếp

=>A,H,C,E cùng thuộc một đường tròn

b: Sửa đề: Chứng minh BH=BD; DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

Vì BC⊥AH tại H

nên BC là tiếp tuyến tại H của (A;AH)

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔADB vuông tại D có

AB chung

AH=AD

Do đó: ΔAHB=ΔADB

=>BH=BD

Xét (O) có

BH,BD là các tiếp tuyến

Do đó: AB là phân giác của góc HAD

=>\(\hat{HAD}=2\cdot\hat{HAB}\)

Xét (O) có

CE,CH là các tiếp tuyến

Do đó: AC là phân giác của góc HAE
=>\(\hat{HAE}=2\cdot\hat{HAC}\)

\(\hat{DAE}=\hat{DAH}+\hat{EAH}\)

\(=2\cdot\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=90^0\)

=>D,A,E thẳng hàng

mà AD=AE

nên A là trung điểm của DE

Gọi M là trung điểm của BC

=>M là tâm đường tròn đường kính BC

ΔABC vuông tại A

=>A nằm trên đường tròn đường kính BC

=>A nằm trên (M)

Ta có: BD⊥DE

CE⊥DE

Do đó: BD//CE

Xét hình thang BDEC có

M,A lần lượt là trung điểm của BC,DE

=>AM là đường trung bình của hình thang BDEC

=>AM//CE//BD

=>AM⊥DE tại A

=>ED là tiếp tuyến tại A của (M)

c:

Gọi X là giao điểm của EH và BD

Xét (A) có

ΔDHE nội tiếp

DE là đường kính

Do đó: ΔDHE vuông tại H

=>DH⊥EH tại H

=>DH⊥XE tại H

=>ΔDHX vuông tại H

Ta có: \(\hat{BHD}+\hat{BHX}=\hat{XHD}=90^0\)

\(\hat{BDH}+\hat{BXH}=90^0\) (ΔDHX vuông tại H)

mà \(\hat{BHD}=\hat{BDH}\)

nên \(\hat{BHX}=\hat{BXH}\)

=>BH=BX

mà BH=BD

nên BX=BD(1)

Ta có: HK⊥DE

XD⊥ED

Do đó: HK//XD

Xét ΔEDB có KI//DB

nên \(\frac{KI}{DB}=\frac{EI}{EB}\) (2)

Xét ΔEBX có IH//BX

nên \(\frac{IH}{BX}=\frac{EI}{EB}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra KI=HI

=>I là trung điểm của HK

a: Xét (A;AH) có

AH là bán kính

BC\(\perp\)AH tại H

Do đó: BC là tiếp tuyến của (A;AH)

b: Xét (A) có

BH,BD là các tiếp tuyến

Do đó: BH=BD và AB là phân giác của góc HAD

Xét (A) có

CE,CH là các tiếp tuyến

Do đó: CE=CH và AC là phân giác của góc HAE

c: BD+CE

=BH+CH

=BC

d: AB là phân giác của góc HAD

=>\(\widehat{HAD}=2\cdot\widehat{HAB}\)

AC là phân giác của góc HAE

=>\(\widehat{HAE}=2\cdot\widehat{HAC}\)

Ta có: \(\widehat{HAD}+\widehat{HAE}=\widehat{EAD}\)

=>\(\widehat{EAD}=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

=>\(\widehat{EAD}=2\cdot\widehat{BAC}=180^0\)

=>E,A,D thẳng hàng

a: Xét (A) có

BH,BD là các tiếp tuyến

Do đó: BH=BD và AB là phân giác của góc HAD

AB là phân giác của góc HAD

=>\(\hat{HAD}=2\cdot\hat{HAB}\)

Xét (A) có

CE,CH là các tiếp tuyến

Do đó: CE=CH và AC là phân giác của góc HAE

AC là phân giác của góc HAE

=>\(\hat{HAE}=2\cdot\hat{HAC}\)

\(\hat{DAE}=\hat{DAH}+\hat{EAH}\)

\(=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot90^0=180^0\)

=>D,A,E thẳng hàng

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH làđường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH^2=2\cdot8=16=4^2\)

=>AH=4(cm)

=>\(DE=2\cdot AH=2\cdot4=8\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: Xét (O) có

ΔDHE nội tiếp

ED là đường kính

Do đó: ΔDHE vuông tại H

=>\(\hat{DHE}=90^0\)

d: Gọi O là trung điểm của BC

=>O là tâm đường tròn đường kính BC

ΔABC vuông tại A

mà AO là đường trung tuyến

nên OA=OB=OC

=>A nằm trên (O)

Xét hình thang BDEC có

A,O lần lượt là trung điểm của DE,BC

=>AO là đường trung bình của hình thang BDEC

=>AO//BD//CE

=>AO⊥ED tại A

=>ED tiếp xúc với (O) tại A

=>ĐPCM

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong (O;R) có BD và CE là các đường cao. Cho góc A = 60 độ, tính theo R diện tích tứ giác OEAD

Có thể giải như sau: 
Tam giác vuông ABD có ^BAD = 60o => AD = AB/2 
Dễ thấy tg vuông ABD đồng dạng với tg vuông ACE => AD/AE = AB/AC => AD/AB = AE/AC => tg AED đông dạng tam giác ABC ( vì có chung góc A) => ED/BC = ADAB = 1/2 => ED = BC/2 
Dễ tính được BC = RV3 => ED = RV3/2 
Mặt khác : Vẽ đường kính AF => BF//CE (vì cùng _I_ với AB). Dễ thấy BCDE nội tiếp => ^BDE = ^BCE (cùng chắn cung BE) = ^CBF ( so le trong) = ^CAF (cùng chắn cung CF của (O) ) => AF _I_ DE ( vì đã có AD _I_ BD) 
Vậy S(OEAD) = AO.ED/2 = R^2V3/4 => R = V(4SV3/3)

p/s:tham khảo

a: Xét (A) có

BH,BD là các tiếp tuyến

Do đó: BH=BD và AB là phân giác của góc HAD

AB là phân giác của góc HAD

=>\(\widehat{HAD}=2\cdot\widehat{HAB}\)

Xét (A) có

CE,CH là các tiếp tuyến

Do đó: CE=CH và AC là phân giác của góc HAE

AC là phân giác của góc HAE

=>\(\widehat{HAE}=2\cdot\widehat{HAC}\)

Ta có: \(\widehat{HAE}+\widehat{HAD}=\widehat{DAE}\)

=>\(\widehat{DAE}=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

=>\(\widehat{DAE}=2\cdot\widehat{BAC}=180^0\)

=>D,A,E thẳng hàng

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot HC=AH^2\)

=>\(BD\cdot CE=\left(\dfrac{1}{2}DE\right)^2=\dfrac{1}{4}DE^2\)