Cho tam giác ABC: Chứng minh: Cos2 A+ Cos2 B+ Cos2 C <1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
13 tháng 6
a: Xét ΔABC vuông tại A có tan B=\(\frac{AC}{AB}\) ; cos B=\(\frac{BA}{BC}\)
\(1+\tan^2B=1+\left(\frac{AC}{AB}\right)^2=\frac{AB^2+AC^2}{AB^2}=\frac{BC^2}{AB^2}\)
\(\frac{1}{cos^2B}=1:\left(\frac{BA}{BC}\right)^2=1:\frac{BA^2}{BC^2}=\frac{BC^2}{BA^2}\)
Do đó: \(1+\tan^2B=\frac{1}{cos^2B}\)
b:
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC;AB^2=BH\cdot BC;AC^2=CH\cdot CB\)
Xét ΔABC vuông tại A có sin B=\(\frac{AC}{BC};cosB=\frac{AB}{BC}\)
\(a\cdot\sin B\cdot cosB\)
\(=BC\cdot\frac{AB}{BC}\cdot\frac{AC}{BC}=\frac{AH\cdot BC}{BC}=AH\)
Xét ΔABC vuông tại A có cos B=\(\frac{BA}{BC}\)
=>\(cos^2B=\frac{BA^2}{BC^2}=\frac{BH\cdot BC}{BC^2}=\frac{BH}{BC}\)
=>\(BH=BC\cdot cos^2B=a\cdot cos^2B\)
TA có: BH+CH=BC
=>\(CH=a-a\cdot cos^2B=a\left(1-cos^2B\right)=a\cdot\sin^2B\)
NM
1
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
14 tháng 7 2023
cos^2(a-b)-cos^2(a+b)
=[cos(a-b)-cos(a+b)]*[cos(a-b)+cos(a+b)]
=[cosa*cosb+sina*sinb-cosa*cosb+sina*sinb]*[cosa*cosb+sina*sinb+cosa*cosb-sina*sinb]
=2*sina*sin*b*2*cosa*cosb
=sin2a*sin2b
15 tháng 2 2019
\(\dfrac{1+cos2a-sin2a}{1+cos2a+sin2a}=\dfrac{2cos^2a-2sina.cosa}{2cos^2a+2sinacosa}\)
\(=\dfrac{2cosa\left(cosa-sina\right)}{2cosa\left(cosa+sina\right)}=\dfrac{cosa-sina}{cosa+sina}=\dfrac{\sqrt{2}sin\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)}{\sqrt{2}cos\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)}=tan\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)\)
\(\dfrac{1+cos2a-cosa}{sin2a-sina}=\dfrac{2cos^2a-cosa}{2sina.cosa-sina}=\dfrac{cosa\left(2cosa-1\right)}{sina\left(2cosa-1\right)}=\dfrac{cosa}{sina}=cota\)
2 tháng 11 2021
\(a,A=\left(\cos^220^0+\cos^270^0\right)+\left(\cos^240^0+\cos^250^0\right)\\ A=\left(\cos^220^0+\sin^220^0\right)+\left(\cos^240^0+\sin^240^0\right)=1+1=2\\ b,B=\left(\cos^2\alpha\right)^3+\left(\sin^2\alpha\right)^3+3\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha\cdot\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)\\ B=\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^3=1^3=1\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
6 tháng 10 2022
Sửa đề: Cm ΔADB đồng dạng với ΔAEC
Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có
góc BAD chung
Do đó: ΔADB đồng dạng với ΔAEC
TP
18 tháng 7 2018
a)
^MAC = ^MCA = a ---> ^AMH = ^MAC + ^MCA = 2a
sin2a = sinAMH = AH/MA = 2AH/BC = 2(AH/AC).(AC/BC) = 2 sina.cosa
b)
1+cos2a = 1+cosAMH = 1+MH/MA = (MA+MH)/MA = CH/MA = 2CH/BC =
= 2 (CH/AC).(AC/BC) = 2 cosa.cosa = 2 cos^2 (a)
c)
1-cos2a = 1-cosAMH = 1-MH/MA = (MA-MH)/MA = BH/MA = 2BH/BC =
= 2 (BH/AB).(AB/BC) = 2 sinBAH.sinACB = 2 sin^2 (a)
(^BAH = ^ACB = a vì chúng cùng phụ với góc ABC)
Lời giải:
Trước hết ta chứng minh một kết quả sau:
Tam giác $ABC$ có $AB=c; BC=a; CA=b$ thì:
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
Chứng minh kết quả này bạn tham khảo ở link sau:
Câu hỏi của Nguyễn Thị Mỹ Lệ - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
------------------------------
Áp dụng kết quả trên vào bài toán:
\(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\Rightarrow \cos ^2A=\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2\)
Tương tự với \(\cos ^2B; \cos ^2C\) suy ra:
\(M=\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2+\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}\right)^2+\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2\)
Đặt \((b^2+c^2-a^2; c^2+a^2-b^2; a^2+b^2-c^2)=(x,y,z)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2=\frac{y+z}{2}\\ b^2=\frac{x+z}{2}\\ c^2=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)
Khi đó: \(M=\frac{x^2}{(x+z)(x+y)}+\frac{y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\)
\(M=\frac{x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)}{(x+y)(y+z)(x+z)}\)
\(M=\frac{x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)}{x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)+2xyz}< 1\)
Ta có đpcm.
Dài thế