a: Sửa đề: HM⊥AB tại M

Xét ΔAMH vuông tại M và ΔAHB vuông tại H có

\(\hat{MAH}\) chung

Do đó: ΔAMH~ΔAHB

=>\(\frac{AM}{AH}=\frac{AH}{AB}\)

=>\(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔANH vuông tại N và ΔAHC vuông tại H có

\(\hat{NAH}\) chung

Do đó: ΔANH~ΔAHC

=>\(\frac{AN}{AH}=\frac{AH}{AC}\)

=>\(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN và ΔACB có

\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

góc MAN chung

Do đó: ΔAMN~ΔACB

=>\(\frac{S_{AMN}}{S_{ACB}}=\left(\frac{AM}{AC}\right)^2=\left(\frac36\right)^2=\frac14\)

=>\(S_{ABC}=4\cdot S_{AMN}\)

b: ΔAMN~ΔACB

=>\(\hat{AMN}=\hat{ACB};\hat{ANM}=\hat{ABC}\)

DF//MN

=>\(\hat{ADF}=\hat{AMN}=\hat{ABC};\hat{AFD}=\hat{AMN}=\hat{ACB}\)

Xét ΔADF và ΔABC có

\(\hat{ADF}=\hat{ABC}\)

góc DAF chung

Do đó: ΔADF~ΔABC

=>\(\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

=>\(\frac{AD}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

Xét ΔADB và ΔAFC có

\(\frac{AD}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

góc DAB chung

Do đó: ΔADB~ΔAFC

=>\(\hat{AFC}=\hat{ADB}=90^0\)

=>CF⊥AB tại F

Xét ΔABC có

BD,AH là các đường cao

BD cắt AH tại E

Do đó: E là trực tâm của ΔABC

=>CE⊥AB

mà CF⊥AB

và CE,CF có điểm chung là C

nên C,E,F thẳng hàng

=>ΔAFE vuông tại F

Ta có: \(\hat{FAE}+\hat{FEA}=90^0\) (ΔFAE vuông tại F)

\(\hat{ABC}+\hat{FAE}=90^0\) (ΔAHB vuông tại H)

Do đó: \(\hat{AEF}=\hat{ABC}\)

a)

Nhận xét: H là một điểm nằm trong tam giác ABC.

b)

Nhận xét: H trùng với đỉnh A của tam giác ABC.

c)

Nhận xét: H nằm ngoài tam giác ABC.

Xét tam giác ABC có

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông.

Xét tam giác DEF có:

Vậy tam giác DEF là tam giác tù.

Xét tam giác HIK:

Nhận thấy

Vậy tam giác HIK là tam giác nhọn.

Tham khảo:

a) Ta thấy ở tam giác ABC vuông tại A thì BA chính là đường cao từ đỉnh B của tam giác vuông ABC

b) Ta thấy đường cao tam giác tù DEF xuất phát từ đỉnh F sẽ nằm ngoài tam giác DEF và chân đường cao nằm trên đoạn kéo dài của đoạn ED.

Ta biết góc tù>90 độ góc nhọn<90 độ

Nếu một tam giác có 2 góc tù thì tổng 2 góc trong tam giác đó lớn hơn 180 độ ko thõa mãn tổng 3 góc trong 1 tam giác

Nếu một tam giác có 2 góc vuông thì góc còn lại là 0 độ vô lí 

do đó trong 1 tam giác chỉ có thể có 1 góc tù hoặc 1 góc vuông

Tam giác vuông ABC ; Tam giác tù DEF; Tam giác nhọn HIK

Tam giác vuông ABC; Tam giác tù DEF; Tam giác nhọn HIK.

a) Vì tổng 3 góc trong tam giác là \({180^o}\)

Nên ta có :

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {DEC} + \widehat {DCE} + \widehat {CDE} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {DCE} = {180^o} - \widehat {DEC} - \widehat {CDE}\\ \Rightarrow \widehat {DCE} = {180^o} - {58^o} - {32^o} = {90^o}\end{array}\)

b) Theo đề bài ta có :

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {HGF} + \widehat {GHF} + \widehat {GFH} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {GFH} = {180^o} - \widehat {HGF} - \widehat {GHF}\\ \Rightarrow \widehat {GFH} = {180^o} - {68^o} - {42^o} = {70^o}\end{array}\)

c) Theo đề bài ta có :

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {IJK} + \widehat {JKI} + \widehat {JIK} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {JIK} = {180^o} - \widehat {IJK} - \widehat {JKI}\\ \Rightarrow \widehat {JIK} = {180^o} - {27^o} - {56^o} = {97^o}\end{array}\)