Cho a+b+c = 1 và a,b,c > 0. Cmr: ab + bc + ac - abc < \(\dfrac{8}{27}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 9 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Schur bậc 3:
\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\)
\(\Leftrightarrow abc\geq (1-2c)(1-2a)(1-2b)\)
\(\Leftrightarrow 9abc\geq 4(ab+bc+ac)-1\) (thay \(a+b+c=1\) )
\(\Rightarrow abc\geq \frac{4}{9}(ab+bc+ac)-\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac-abc\leq \frac{5}{9}(ab+bc+ac)+\frac{1}{9}\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM
\(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{5}{9}(ab+bc+ac)+\frac{1}{9}\leq \frac{8}{27}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac-abc\leq \frac{8}{27}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $3a=3b=3c=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 9 2018
À rồi, vừa mới nghĩ ra cách khác:
Ta có:
\(ab+bc+ac-abc=b(a+c)+ac-ac(1-a-c)\)
\(=b(a+c)+ac(a+c)=(a+c)(b+ac)=(a+c)(1-a-c+ac)=(a+c)(1-a)(1-c)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((a+c)(1-a)(1-c)\leq \left(\frac{a+c+1-a+1-c}{3}\right)^3=\frac{8}{27}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
HD
0