Cho ½ (O;R) đường kính BC . Lấy các điểm M , N trên cung BC sao cho các cung BM , MN , NC bằng nhau . Lấy D và E thuộc BC ( D thuộc đoạn BE ) . MD và NE cắt nhau tại A .CMR : Tam giác ABC đều thì BD = DE = EC và ngược lại(Ở đây mk vẽ ko chuẩn SRY nha ! ) O B C M N D E A ...
Đọc tiếp
Cho ½ (O;R) đường kính BC . Lấy các điểm M , N trên cung BC sao cho các cung BM , MN , NC bằng nhau . Lấy D và E thuộc BC ( D thuộc đoạn BE ) . MD và NE cắt nhau tại A .
CMR : Tam giác ABC đều thì BD = DE = EC và ngược lại
(Ở đây mk vẽ ko chuẩn SRY nha ! )
B C M N O D E A
+) Chứng minh: \(\Delta\)ABC đều => BD=DE=EC ?
Ta thấy đường tròn (O) có các cung \(\widebat{BM}=\widebat{MN}=\widebat{NC}\) => ^BOM = ^MON = ^NOC
Mà ^BOM + ^MON + ^NOC = 1800 => ^BOM = ^MON = ^NOC = 600
=> Các tam giác: \(\Delta\)BOM; \(\Delta\)MON; \(\Delta\)NOC đều
=> BM = OB = 1/2.BC. Mà \(\Delta\)ABC đều nên BM = 1/2.AC hay \(\frac{BM}{AC}=\frac{1}{2}\)
Do \(\Delta\)BOM đều nên ^OBM = 600 hay ^MBC = 600 => ^MBC = ^ACB = 600 (Do \(\Delta\)ABC đều)
=> BM // AC (2 góc so le trong bằng nhau)
Theo hệ quả ĐL Thales: \(\frac{BM}{AC}=\frac{BD}{CD}\). Mà \(\frac{BM}{AC}=\frac{1}{2}\)(cmt)
=> \(\frac{BD}{CD}=\frac{1}{2}\)=> BD=1/3.BC . Tương tự: CE=1/3.BC
Từ đó: BD=CE=DE (=1/3.BC) (đpcm).
+) Chứng minh BD=DE=EC => \(\Delta\)ABC đều ?
Dễ thấy tứ giác BMNC là hình thang (cân) => MN // BC hay MN // DE
Ap dụng hệ quả ĐL Thales: \(\frac{DE}{MN}=\frac{AE}{AN}\)(1).
Ta có: BD=DE=EC=1/3.BC => \(\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}\)=> \(\frac{DE}{\frac{1}{2}BC}=\frac{2}{3}\)\(\Rightarrow\frac{DE}{OB}=\frac{2}{3}\)
Lại có: OB = MN (Do 2 tam giác BOM và MON đều) => \(\frac{DE}{MN}=\frac{2}{3}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{AE}{AN}=\frac{2}{3}\)
Mặt khác \(\frac{BE}{BC}=\frac{2}{3}\)\(\Rightarrow\frac{AE}{AN}=\frac{BE}{BC}\)=> CN // AB (ĐL Thales đảo)
=> ^BCN = ^ABC (2 góc so le trg).
Mà ^BCN (=^OCN) = 600 (Do \(\Delta\)NOC đều) => ^ABC = 600.
Lập luận tương tự, ta cũng có: ^ACB = 600. Do đó \(\Delta\)ABC đều (đpcm).
\(\text{Cám ơn Kuro Được OLM k sướng nhá :D}\)