\(Q=\left(a^2b^2+a^2+b^2+1\right)\left(c^2+1\right)=\)

\(=a^2b^2c^2+a^2b^2+a^2c^2+a^2+b^2c^2+b^2+c^2+1=\)

\(=a^2b^2c^2+\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+\left(a^2+b^2+c^2\right)+1\) (1)

Ta có

\(\left(ab+bc+ac\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc=\)

\(=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)=1\)

\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2=1-2abc\left(a+b+c\right)\) (2)

Ta có

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=\)

\(=a^2+b^2+c^2+2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\) (3)

Thay (2) và (3) vào (1)

\(Q=a^2b^2c^2+1-2abc\left(a+b+c\right)+\left(a+b+c\right)^2-2+1=\)

\(=\left(abc\right)^2-2abc\left(a+b+c\right)+\left(a+b+c\right)^2=\)

\(=\left[abc-\left(a+b+c\right)\right]^2\)

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)

\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\frac{a+b+c}{abc}\)

\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)    (do a+b+c = 0)

=>  \(B=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{ \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

=>   đpcm

Đặt x=a-2b; y=3a+4b

Theo đề, ta có: x và y là các số hữu tỉ

a-2b=x và 3a+4b=y

=>2a-4b=2x và 3a+4b=y

=>2a-4b+3a+4b=2x+y

=>5a=2x+y

=>\(a=\frac{2x+y}{5}\)

a-2b=x

=>\(2b=a-x=\frac{2x+y}{5}-x=\frac{2x+y-5x}{5}=\frac{-3x+y}{5}\)

=>\(b=\frac{-3x+y}{10}\)

Vì x,y là các số hữu tỉ

nên 2x+y là số hữu tỉ

=>\(\frac{2x+y}{5}\) là số hữu tỉ

=>a là số hữu tỉ

Vì x,y là các số hữu tỉ

nên -3x+y là số hữu tỉ

=>\(b=\frac{-3x+y}{10}\) là số hữu tỉ

Đặt x=a-2b; y=3a+4b

Theo đề, ta có: x và y là các số hữu tỉ

a-2b=x và 3a+4b=y

=>2a-4b=2x và 3a+4b=y

=>2a-4b+3a+4b=2x+y

=>5a=2x+y

=>\(a=\frac{2x+y}{5}\)

a-2b=x

=>\(2b=a-x=\frac{2x+y}{5}-x=\frac{2x+y-5x}{5}=\frac{-3x+y}{5}\)

=>\(b=\frac{-3x+y}{10}\)

Vì x,y là các số hữu tỉ

nên 2x+y là số hữu tỉ

=>\(\frac{2x+y}{5}\) là số hữu tỉ

=>a là số hữu tỉ

Vì x,y là các số hữu tỉ

nên -3x+y là số hữu tỉ

=>\(b=\frac{-3x+y}{10}\) là số hữu tỉ

Đặt x=3a-2b; y=2a+5b

Theo đề, ta có: x,y là các số hữu tỉ

\(\begin{cases}3a-2b=x\\ 2a+5b=y\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}15a-10b=5x\\ 4a+10b=2y\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}15a-10b+4a+10b=5x+2y\\ 3a-2b=x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}19a=5x+2y\\ 3b=3a-x\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}a=\frac{5x+2y}{19}\\ 3b=3\cdot\frac{5x+2y}{19}-x=\frac{15x+6y-19x}{19}=\frac{-4x+6y}{19}\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}a=\frac{5x+2y}{19}\\ b=\frac{-4x+6y}{57}\end{cases}\)

x,y là các số hữu tỉ

=>5x+2y và -4x+6y là các số hữu tỉ

=>\(a=\frac{5x+2y}{19};b=\frac{-4x+6y}{57}\) là các số hữu tỉ

\(\hept{\begin{cases}a-2b\inℚ\\3a+4b\inℚ\end{cases}}\Rightarrow2\left(a-2b\right)+\left(3a+4b\right)=5a\inℚ\Leftrightarrow a\inℚ\)

\(\Rightarrow-2b\inℚ\Leftrightarrow b\inℚ\).

Ta có đpcm. 

ta có :

\(a=\frac{2\left(a+3b\right)+3\left(3a-2b\right)}{11}\) nên a là số hữu tỉ 

\(b=\frac{-3\left(a+3b\right)+\left(3a-2b\right)}{-11}\) nên b là số hữu tỉ

\(\hept{\begin{cases}3a-2b\inℚ\\2a+5b\inℚ\end{cases}}\Rightarrow5\left(3a-2b\right)+2\left(2a+5b\right)=19a\inℚ\Leftrightarrow a\inℚ\)

\(\Rightarrow-2b\inℚ\Leftrightarrow b\inℚ\).

Ta có đpcm.