1)

$2x=a+b+c$

$\Rightarrow x-a=\dfrac{b+c-a}{2},\quad x-b=\dfrac{c+a-b}{2},\quad x-c=\dfrac{a+b-c}{2}$

$(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)$

$=\dfrac{(b+c-a)(c+a-b)+(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)(b+c-a)}{4}$

$=\dfrac{2ab+2bc-a^2-b^2-c^2+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2+2ca+2ab-a^2-b^2-c^2}{4}$

$=\dfrac{4ab+4bc+4ca-3(a^2+b^2+c^2)}{4}$

$=\dfrac{(a+b+c)^2-2(a^2+b^2+c^2)}{4}$

$=\dfrac{(2x)^2-2(a^2+b^2+c^2)}{4}$

$=ab+bc+ca-x^2$

$\therefore\ (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=ab+ac+bc-x^2.$

2)

$ab+bc+ca=abc,\quad a+b+c=1$

$(a-1)(b-1)(c-1)$$=abc-ab-bc-ca+a+b+c-1$$=abc-ab-bc-ca+1-1$$=abc-(ab+bc+ca)$$=abc-abc$$=0$

$\therefore\ (a-1)(b-1)(c-1)=0.$

a: (x+a)(x+b)

\(=x^2+bx+ax+ab\)

\(=x^2+x\left(a+b\right)+ab\)

b: \(\left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right)\)

\(=\left(x^2+ax+bx+ab\right)\left(x+c\right)\)

\(=x^3+x^2c+ax^2+axc+bx^2+bxc+abx+abc\)

\(=x^3+x^2\left(a+b+c\right)+x\left(ab+bc+ca\right)+abc\)

Ta có: VT=(x-a).(x-b)+(x-b).(x-c)+(x-c).(x-a)

              =x²-ax-bx+ab+x²-bx-cx+bc+x²-cx-ax+ca

              =3.x²-2.(ax+bx+cx)+ab+bc+ca

              =3.x²-2x.(a+b+c)+ab+bc+ca

              =x.[3x-2.(a+b+c)]+ab+bc+ca

Vì \(x=\frac{a+b+c}{2}\)

<=>a+b+c=2x

<=>2.(a+b+c)=4x

<=>3x-2.(a+b+c)=-x

=>VT=x.(-x)+ab+bc+ca

        =ab+bc+ca-x²=VP

=>ĐPCM

oh thanks you ~~~~

$\dfrac{x-b-c}{a}+\dfrac{x-c-a}{b}+\dfrac{x-a-b}{c}=3$

$\Leftrightarrow x\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\right)-\left(\dfrac ba+\dfrac ca+\dfrac cb+\dfrac ab+\dfrac ac+\dfrac bc\right)=3$

$\Leftrightarrow x\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\right)=3+\dfrac ba+\dfrac ca+\dfrac cb+\dfrac ab+\dfrac ac+\dfrac bc$

$\Leftrightarrow x\cdot\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=\dfrac{3abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2}{abc}$

$\Leftrightarrow x(ab+bc+ca)=3abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2$

$\Leftrightarrow x(ab+bc+ca)=3abc+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$

$\Leftrightarrow x(ab+bc+ca)=(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow x=a+b+c$

$\boxed{x=a+b+c}$

b)(x+a)(x+b)(x+c)=x²+(a+b+c)x²+(ab+bc+ac)x+abc

            Muốn chứng minh được ta phải chứng minh vế trái    

(x²+bx+ax+ab)(x+c)=x³+ax²+bx²+cx²+abx+bcx+acx+abc

     x³+ax²+bx²+cx²+abx+bcx+acx+abc=x³+ax²+bx²+cx²+abx+bcx+acx+abc(1)

Vì hai biểu thức trên (1) giông nhau

               Do đó (x+a)(x+b)(x+c)=x²+(a+b+c)x²+(ab+bc+ac)x+abc