Đặt t=|x|+1

x∈[-2;2]

=>|x|∈[0;2]

=>t∈[1;3]

t=1

=>|x|=0

=>x=0

t∈(1;3]

=>|x|=t-1>0

=>x=t-1 hoặc x=-t+1

=>để phương trình ban đầu có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng [-2;2] thì phương trình ẩn t phải có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (1; 3]

\(f(t) = t^2 - 4t + 3\) có đỉnh là t=2

f(1)=0

f(2)=-1

f(3)=0

BẢng biến thiên:

Khi u∈[-1;0) thì phương trình f(t)=u có đúng 2 nghiệm khi t∈(1;3], với một nghiệm thuộc (1; 2) và một nghiệm thuộc (2; 3].

Tại u = -1, phương trình f(t) = -1 chỉ có 1 nghiệm t = 2.

Tại u = 0, t = 1 và t = 3 (chứa t = 1, không cho đủ 4 nghiệm x).

Do đó: để có đúng 2 nghiệm t∈(1; 3], ta phải chọn đúng 1 giá trị u∈[-1; 0)

Phương trình trở thành f(u)=m, với u∈[-1;0)

\(f\left(u\right)=u^2-4u+3\)

=>f'(u)=2u-4

u∈[-1;0)

=>2u∈[-2;0)

=>2u-4∈[-6;-4)

=>2u-4<0∀u∈[-1;0)

=>f(u) nghịch biến trên [-1;0)

\(f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 8\)

\(\lim_{u \to 0^-} f(u) = f(0) = 3\)

Do f(u) liên tục và giảm nghiêm ngặt từ 8 xuống 3 trên đoạn [-1;0), nên với mỗi giá trị m∈(3;8) thì phương trình f(u) = m sẽ có đúng 1 nghiệm u∈[-1;0)

=>m∈(3;8)

(cosx-1)(sin x+m)=0

=>cosx=1 hoặc sin x=-m

TH1: cosx =1

=>\(x=k2\pi\)

mà \(x\in\left\lbrack0;\pi\right\rbrack\)

nên x=0

Để phương trình có đúng hai nghiệm nằm trong khoảng [0;π] thì sin x=-m có duy nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng [0;π]

=>\(\begin{cases}-1\le-m\le1\\ \arcsin\left(-m\right)+k2\pi=\pi-\arcsin\left(-m\right)+k2\pi\end{cases}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}-1\le m\le1\\ 2\cdot\arcsin\left(-m\right)=\pi\end{array}\right.\Rightarrow\arcsin\left(-m\right)=\frac{\pi}{2}\)

=>-m=1

=>m=-1

\(f\left(1-x\right)+f\left(x\right)=\dfrac{9^{1-x}}{9^{1-x}+3}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=\dfrac{9}{9+3.9^x}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=\dfrac{3}{9^x+3}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=1-f\left(1-x\right)\)

\(\Rightarrow f\left(cos^2x\right)=1-f\left(sin^2x\right)\)

Do đó:

\(f\left(3m+\dfrac{1}{4}sinx\right)+f\left(cos^2x\right)=1\)

\(\Leftrightarrow f\left(3m+\dfrac{1}{4}sinx\right)=f\left(sin^2x\right)\) (1)

Hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{9^x}{9^x+3}\) có \(f'\left(x\right)=\dfrac{3.9^x.ln9}{\left(9^x+3\right)^2}>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow3m+\dfrac{1}{4}sinx=sin^2x\)

Đến đây chắc dễ rồi, biện luận để pt \(sin^2x-\dfrac{1}{4}sinx=3m\) có 8 nghiệm trên khoảng đã cho

\(\text{Δ}=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m-4\right)\)

\(=4m^2+8m+4-4m+16\)

\(=4m^2+4m+20=\left(2m+1\right)^2+16>0\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Đặt \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)\)

Hàm \(f\left(x\right)\) hiển nhiên liên tục trên R

Do vai trò a;b;c như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(a< b< c\)

\(f\left(a\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)

\(f\left(b\right)=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)

\(f\left(c\right)=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)

\(f\left(a\right).f\left(b\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)=\left(a-b\right)^2\left(c-a\right)\left(b-c\right)\)

Do \(a< b< c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-a>0\\b-c< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a;b)

\(f\left(b\right).f\left(c\right)=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)=\left(b-c\right)^2\left(a-b\right)\left(c-a\right)\)

Do \(a< b< c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b< 0\\c-a>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(b\right).f\left(c\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (b;c)

Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt