a) A = x( 5 - 3x ) = -3x² + 5x = -3( x² - 5/3x + 25/36 ) + 25/12

= -3( x - 5/6 )² + 25/12 ≤ +25/12 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = 5/6

Vậy MaxA = 25/12 <=> x = 5/6

b) Từ x + y = 7 => x = 7 - y

Ta có : xy = ( 7 - y ).y = 7y - y² = -( y² - 7y + 49/4 ) + 49/4 = -( y - 7/2 )² + 49/4 ≤ 49/4 ∀ y

Dấu "=" xảy ra <=> y = 7/2 => x = 7/2

Vậy Max(xy) = 49/4 <=> x = y = 7/2

( nếu cho x,y dương thì Cauchy nhanh gọn luôn :)) )

\(P=\frac{n+2}{n-7}=\frac{n-7+9}{n-7}=1+\frac{9}{n-7}\)

P max => \(\frac{9}{n-7}max\)=> n-7 min và n-7>0 vì 9>0 và không đổi

=> n-7=1 => n=8

Vậy....

\(x^2-4x+7\) 

⇔ \(\left(x^2-4x+4\right)+3\)

⇔  \(\left(x-2\right)^2+3\)

Vì \(\left(x-2\right)^2\ge0\) ⇒ \(\left(x-2\right)^2+3\ge3\)

Vậy GTNN của A là 3 khi x =2  

\(x^2-4x+7\)

\(=x^2-4x+4+3\)

\(=\left(x-2\right)^2+3\ge3\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=2

\(=-\left(x^2+2\cdot\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{4}\right)+\dfrac{37}{4}=-\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{37}{4}\le\dfrac{37}{4}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}\)

Câu 7;

Đặt \(a=\sqrt3\cdot\sin2x+cos2x\)

\(=2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cdot\sin2x+\frac12\cdot cos2x\right)\)

\(=2\cdot\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\)

Ta có: \(y=\frac{2}{\sqrt3\cdot\sin2x+cos2x}\)

\(=\frac{2}{2\cdot\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{1}{\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)}\)

y max khi \(\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\) nhỏ nhất

=>\(\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=-1\)

=>\(2x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

=>\(2x=-\frac56\pi+k2\pi\)

=>\(x=-\frac{5}{12}\pi+k\pi\)

y min khi \(\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\) lớn nhất

=>\(\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=1\)

=>\(2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

=>\(2x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\)

=>\(x=\frac{\pi}{12}+k\pi\)

TA có: \(2\left(x-3\right)^2\ge0\forall x;\frac{7}{11}\left|3y+7\right|\ge0\forall y\)

=>\(2\left(x-3\right)^2+\frac{7}{11}\left|3y+7\right|\ge0\forall x,y\)

=>\(-2\left(x-3\right)^2-\frac{7}{11}\left|3y+7\right|\le0\forall x,y\)

=>\(-2\left(x-3\right)^2-\frac{7}{11}\left|3y+7\right|-2011\le-2011\forall x,y\)

dấu '=' xảy ra khi x-3=0 và 3y+7=0

=>x=3 và y=-7/3

Lời giải:

Ta thấy: \(x-5\sqrt{x}+7=(\sqrt{x}-2,5)^2+0,75\geq 0,75\)

\(\Rightarrow P=\frac{1}{x-5\sqrt{x}+7}\leq \frac{1}{0,75}=\frac{4}{3}\)

Vậy $P_{\min}=\frac{4}{3}$. Giá trị này đạt tại $x=2,5^2=6,25$

A = 8 - (4\(x\) - 7)² 

Vì  (4\(x\) - 7)² ≥ 0 ⇒ - (4\(x\) - 7)² ≤ 0 ⇒ 8 - (4\(x\) - 7) ≤ 8 

Vậy A_max = 8 xảy ra khi 4\(x\) - 7 = 0 ⇒ \(x\) = \(\dfrac{7}{4}\)

Kết luận giá trị lớn nhất của biểu thức là 8 xảy ra khi \(x\) = \(\dfrac{7}{4}\)

Đặt \(A=8-\left(4x-7\right)^2\)

Do \(\left(4x-7\right)^2\ge0\) với mọi \(x\in R\)

\(\Rightarrow-\left(4x-7\right)^2\le0\) với mọi \(x\in R\)

\(\Rightarrow8-\left(4x-7\right)^2\le8\) với mọi \(x\in R\)

Vậy GTLN của A là 8 khi \(x=\dfrac{7}{4}\)