\(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}+x^2+\dfrac{y^2}{4}=4\left(1\right)\)

Theo Bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số \(\left(x^2;\dfrac{1}{x^2}\right);\left(x^2;\dfrac{y^2}{4}\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+\dfrac{1}{x^2}\ge2\\x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge2.\dfrac{1}{2}xy\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+\dfrac{1}{x^2}\ge2\\x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge xy\end{matrix}\right.\)

Từ \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}+x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge2+xy\)

\(\Leftrightarrow4\ge2+xy\)

\(\Leftrightarrow xy\le2\left(x;y\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow Max\left(xy\right)=2\)

Dấu "=" xảy ra khi

\(xy\in\left\{-1;1;-2;2\right\}\)

\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;-2\right);\left(1;2\right);\left(-2;-1\right);\left(2;1\right)\right\}\) thỏa mãn đề bài

hình như dấu "=" xảy ra khi x^2 = 1/x^2 với x^2 = y^2/4 mà bạn nhỉ

Ta thấy \(2x^2< 4\) \(\Leftrightarrow x^2< 2\) \(\Leftrightarrow x^2=1\) (do \(x\ne0\))

Thế vào pt đề bài, ta có \(3+\dfrac{y^2}{4}=4\) 

\(\Leftrightarrow\dfrac{y^2}{4}=1\)

\(\Leftrightarrow y^2=4\)

\(\Leftrightarrow y=\pm2\)

Vậy, các cặp số (x; y) thỏa ycbt là \(\left(1;2\right);\left(-1;-2\right);\left(1;-2\right);\left(-1;2\right)\)

a

Ta có: \(1+\frac{1}{y+\frac{1}{3+\frac{1}{x}}}=\frac{43}{30}\)

=>\(1:\left(y+\frac{1}{3+\frac{1}{x}}\right)=\frac{43}{30}-1=\frac{13}{30}\)

=>\(y+\frac{1}{3+\frac{1}{x}}=\frac{30}{13}\)

=>\(y+\frac{1}{3+\frac{1}{x}}=2+\frac{4}{13}=2+\frac{1}{\frac{13}{4}}=2+\frac{1}{3+\frac14}\)

=>y=2; x=4

mình đang cần gấp!!!

ĐKXĐ: \(x;y\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}-2\right)+\left(y^2+\dfrac{1}{y^2}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{x}=0\\y-\dfrac{1}{y}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(\pm1;\pm1\right)\)

tại sao lại lấy \(x^2+\dfrac{1}{x^2}-2\)\(+y^2+\dfrac{1}{x^2}-2\) ạ?

Ta có: \(\vert{}x^2 - 2x\vert{} - \frac{1}{2} < 2 - \vert{}x - 1\vert{}\)

=>\(\vert{}(x - 1)^2 - 1\vert{} + \vert{}x - 1\vert{} < \frac{5}{2}\) (1)

Đặt \(t = \vert{}x - 1\vert{} \ge 0\)

(1) =>\(\vert{}t^2 - 1\vert{} + t < \frac{5}{2}\)

Khi t=0 thì \(\left|t^2-1\right|+t=\left|0^2-1\right|+0=1\) <5/2(nhận)

Khi t=1 thì \(\left|t^2-1\right|+t=\left|1^2-1\right|+1=1<\frac52\) (nhận)

Khi t=2 thì \(\left|t^2-1\right|+t=\left|2^2-1\right|+2=2^2-1+2=4-1+2=6-1=5>\frac52\)

=>Loại

Khi t>2 thì \(\left|t^2-1\right|+t\ge5>\frac52\)

=>Loại

Vậy: t=0 hoặc t=1

t=0

=>x-1=0

=>x=1

\(\left|x^2-2x\right|-\frac12

=>\(\left|1^2-2\cdot1\right|-\frac12

=>\(\left|1-2\right|-\frac12

=>1/2<y<2

mà y nguyên

nên y=1

t=1

=>|x-1|=1

=>x-1=1 hoặc x-1=-1

=>x=2 hoặc x=0

Khi x=2 thì \(\left|x^2-2x\right|-\frac12

=>\(\left|2^2-2\cdot2\right|-\frac12

=>\(-\frac12

mà y nguyên

nên y=0

Khi x=0 thì \(\left|x^2-2x\right|-\frac12

=>\(\left|0^2-2\cdot0\right|-\frac12

=>\(-\frac12

mà y nguyên

nên y=0

\(\dfrac{x}{3}\) + \(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{1}{y+3}\)  Đk (\(y\ne-3\))⇒ \(\dfrac{2x+3}{6}\) = \(\dfrac{1}{y+3}\) ⇒ (2\(x\)+3)(y+3) = 6

Ư(6) = { -6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6}

Lập bảng ta có:

Từ bảng trên ta có các cặp \(x\), y nguyên thỏa mãn đề bài là:

(\(x\), y) = ( -3; -5); ( -2; -9); ( -1; 3); (0; -1); 

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{3}\)=>\(\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{3}\)

=>3(x+y)=xy

=>3x+3y=xy

=>3x=xy-3y

=>3x=y(x-3)

=>y=\(\dfrac{3x}{x-3}\)

* Vì y nguyên nên 3x ⋮ x-3 

=>3(x-3)+9 ⋮x-3

=>9 ⋮ x-3

=>x-3∈Ư(9)

=>x-3∈{1;-1;3;-3;9;-9}

=>x∈{4;2;6;0;12;-6} mà x nguyên dương và x khác 0 nên x∈{4;2;6;12}

=>y∈{12;-6;6;4} mà y nguyên dương nên y∈{12;6;4}

=>x∈{4;6;12}

- Vậy x=4 thì y=12 ; x=6 thì y=6 ; x=12 thì y=4.

Giải:

x/2-2/y=1/2

     -2/y=1/2-x/2

     -2/y=1-x/2

=>y.(1-x)=-2.2

    y.(1-x)= -4

=>y và 1-x thuộc Ư(-4)=(1;-1;2;-2;4;-4)

Ta có bảng tương ứng:

1-x =1 thì x=0;y=-4

1-x=-1 (loại)

1-x=2 thì x=-1;y=2

1-x=-2 thì x=3;y=-2

1-x=4 thì x=-3;y=1

1-x=-4 thì x=5;y=-1

Vậy (x;y)=(0;4);(-1;2);(3;-2);(-3;1);(5;-1)

Chúc bạn học tốt!

ảm ơn bạn nha