Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có:

\(VT\ge\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{9}{ab+bc+ca}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)

\(VT\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{7}{\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}}=9+21=30\)

ab+bc+ca \(\le\) a^2+b^2+c^2

<=> a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \(\ge\) 0

<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \(\ge\) 0

<=> (a^2+b^2-2ab) + (b^2+c^2-2bc) + (c^2+a^2-2ca) \(\ge\)0

<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \(\ge\)0, luôn đúng

a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)

<=> a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca < 0

<=> (a^2+b^2-2ab) + (b^2+c^2-2bc) + (c^2+a^2-2ca) - a^2 - b^2 - c^2 < 0

<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 - a^2 - b^2 - c^2 < 0, luôn đúng

Ta co đpcm

a,b,c > 0

Áp dụng bđt AM-GM : a²+b² \(\ge\) 2ab , b²+c² \(\ge\) 2bc , c²+a² \(\ge\) 2ca 

Cộng theo vế : 2(a²+b²+c²) \(\ge\) 2(ab+bc+ac) => a²+b²+c² \(\ge\) ab+bc+ca

theo bđt tam giác : a+b > c =>c(a+b) > c² =>ac+bc > c²

b+c>a => ab+ac > a²,a+c > b=>ab+bc > b²

Cộng theo vế : 2(ab+bc+ac) > a²+b²+c²

\(\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{1+ab-c^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+ab}}=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+ab\right)\left(ab+2c^2\right)}}\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\)

\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+a^2+b^2+2c^2}=\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=ab+2c^2\)

Tương tự và cộng lại:

\(VT\ge ab+bc+ca+2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2+ab+bc+ca\)

$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

còn câu 1 nữa Ace Legona

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(\Rightarrow4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2=1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge\dfrac{1}{4}\)

Lại có:

\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+bc+cd+da\forall a,b,c,d\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{4}\ge ab+bc+ca+da\) (ĐPCM)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:

\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\geq 2\sqrt{\frac{a}{bc}.\frac{b}{ac}}=2\sqrt{\frac{1}{c^2}}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\geq 2\sqrt{\frac{b}{ac}.\frac{c}{ab}}=2\sqrt{\frac{1}{a^2}}=\frac{2}{a}\)

\(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge 2\sqrt{\frac{a}{bc}.\frac{c}{ab}}=2\sqrt{\frac{1}{b^2}}=\frac{2}{b}\)

Cộng các BĐT trên theo vế và rút gọn

\(\Rightarrow \frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$