a) Ta có: $(3n+2,5n+3)=(3n+2,2n+1)=(n+1,2n+1)=(n+1,n)=1$.

Các câu sau chứng minh tương tự.

3^2n+2+2^6n+1=9^n.3^2+54^n.2=9^n.9+9^n.2-9^n.2+54^n.2=9^n(9+2)+2(54^n-9^n)

ta có 9^n(9+2) chia hết cho 11 (1)

2(54^n-9^n) chia hết cho (54-9) =>2(54^n-9^n) chia hết cho 11 (2)

từ (1) và (2) =>3^2n+2+2^6n+1 chia hết cho 11

6^2n+ 3^(n+2)+ 3^n = 6^2n + 3^n x 3^2+ 3^n = 6^2n + 3^n x 9 + 3^n = 6^2n + 3^n x 10 
6^2n + 3^n x 10 dd 6^2n + 3^n x (-1) dd 3^n x ( 3^n x 2^2n) - 3^n dd 3^n x (3^n x 4^n -1)( mod 11) 
(3^n x 4^n -1) dd 12^n -1 dd 1^n - 1 dd 0 
=>6^2n + 3^(n+2)+ 3^n dd 0(mod 11) 
=> dpcm 

Bai 1:

Gọi d=ƯCLN(3n+11;3n+2)

=>3n+11⋮d và 3n+2⋮d

=>3n+11-3n-2⋮d

=>9⋮d

mà 3n+2 không chia hết cho 3

nên d=1

=>ƯCLN(3n+11;3n+2)=1

=>3n+11 và 3n+2 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 2:

a: n+15<=n-6

=>15<=-6(vô lý)

=>n∈∅

b: 2n+15⋮2n+3

=>2n+3+12⋮2n+3

=>12⋮2n+3

mà 2n+3>=3(do n là số tự nhiên)

nên 2n+3∈{3;6;12}

=>2n∈{0;3;9}

=>n∈\(\left\lbrace0;\frac32;\frac92\right\rbrace\)

mà n là số tự nhiên

nên n=0

c: 6n+9⋮2n+1

=>6n+3+6⋮2n+1

=>6⋮2n+1

mà 2n+1>=1(do n>=0)

nên 2n+1∈{1;2;3;6}

=>2n∈{0;1;2;5}

=>n∈\(\left\lbrace0;\frac12;1;\frac52\right\rbrace\)

mà n là số tự nhiên

nên n∈{0;1}