a) Ta có: \({u_{n + 1}} = 3 - 4\left( {n + 1} \right) = 3 - 4n - 4 =  - 1 - 4n\)

Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( { - 1 - 4n} \right) - \left( {3 - 4n} \right) =  - 1 - 4n - 3 + 4n =  - 4\)

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai \(d =  - 4\).

b) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{2} - 4 = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} - 4 = \frac{n}{2} - \frac{7}{2}\)

Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {\frac{n}{2} - \frac{7}{2}} \right) - \left( {\frac{n}{2} - 4} \right) = \frac{n}{2} - \frac{7}{2} - \frac{n}{2} + 4 = \frac{1}{2}\)

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai \(d = \frac{1}{2}\).

c) Ta có: \({u_1} = {5^1} = 5;{u_2} = {5^2} = 25;{u_3} = {5^3} = 125\)

Vì \({u_2} - {u_1} = 20;{u_3} - {u_2} = 100\) nên dãy số không là cấp số cộng.

d) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{9 - 5\left( {n + 1} \right)}}{3} = \frac{{9 - 5n - 5}}{3} = \frac{{4 - 5n}}{{3}}\)

Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{4 - 5n}}{3} - \frac{{9 - 5n}}{3} = \frac{{\left( {4 - 5n} \right) - \left( {9 - 5n} \right)}}{3} = \frac{{4 - 5n - 9 + 5n}}{3} =  - \frac{5}{3}\)

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai \(d =  - \frac{5}{3}\).

a) Năm số hạng đầu của dãy số: 1; 3; 5; 7; 9.

b) Công thức biểu diễn số hạng \({u_n}\) theo số hạng \({u_{n - 1}}\) là: \({u_n} = {u_{n - 1}} + 2\;\left( {n \ge 2} \right)\).

a)    Dãy số trên là cấp số cộng

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 3 - 2n\\ \Leftrightarrow {u_1} + nd - d = 3 - 2n\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - d = 3\\nd =  - 2n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

b)    Dãy số trên là cấp số cộng

Ta có:

 \(\begin{array}{l}{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{{3n + 7}}{5}\\ \Leftrightarrow {u_1} + nd - d = \frac{{3n}}{5} + \frac{7}{5}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - d = \frac{7}{5}\\nd = \frac{3}{5}n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = \frac{3}{5}\end{array} \right.\end{array}\)

c) Dãy số đã cho không là cấp số cộng

Ta có: \( u_{n+1} = 3^{n+1} = 3.3^n \)

Xét hiệu \( u_{n+1} – u_n = 3.3^n – 3^n = 2.3^n \) với n ∈ ℕ*

a) \({u_n} = 3n - 2\)

\( \Rightarrow {u_1} = 3.1 - 2 = 1\)

\( \Rightarrow {u_2} = 3.2 - 2 = 4\)

\( \Rightarrow {u_3} = 3.3 - 2 = 7\)

\( \Rightarrow {u_4} = 3.4 - 2 = 10\)

\( \Rightarrow {u_5} = 3.5 - 2 = 13\)

\( \Rightarrow {u_{100}} = 3.100 - 2 = 298\)

b) \({u_n} = {3.2^n}\)

\( \Rightarrow {u_1} = {3.2^1} = 6\)

\( \Rightarrow {u_2} = {3.2^2} = 12\)

\( \Rightarrow {u_3} = {3.2^3} = 24\)

\( \Rightarrow {u_4} = {3.2^4} = 48\)

\( \Rightarrow {u_5} = {3.2^5} = 96\)

\( \Rightarrow {u_{100}} = {3.2^{100}}\)

c) \({u_n} = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}\)

\( \Rightarrow {u_1} = {\left( {1 + \frac{1}{1}} \right)^1} = 2\)

\( \Rightarrow {u_2} = {\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\)

\( \Rightarrow {u_3} = {\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)^3} = \frac{{64}}{{27}}\)

\( \Rightarrow {u_4} = {\left( {1 + \frac{1}{4}} \right)^4} = \frac{{625}}{{256}}\)

\( \Rightarrow {u_5} = {\left( {1 + \frac{1}{5}} \right)^5} = \frac{{7776}}{{3125}}\)

\( \Rightarrow {u_{100}} = {\left( {1 + \frac{1}{{100}}} \right)^{100}} = {\left( {\frac{{101}}{{100}}} \right)^{100}}\)

a)    Năm số hạng đầu của dãy số là: 3; 9; 19; 33; 51

b)    Năm số hạng đầu của dãy số là: \( - 1;\frac{1}{3}; - \frac{1}{5};\frac{1}{7}; - \frac{1}{9}\)

c)    Năm số hạng đầu của dãy số là: \(2;2;\frac{8}{3};4;\frac{{32}}{5}\)

d)    Năm số hạng đầu của dãy số là: \(2;\frac{9}{4};\frac{{64}}{{27}};\frac{{625}}{{256}};\frac{{7776}}{{3125}}\)

a) \(n = 100 \Leftrightarrow \left| {{u_{100}}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{100}}}}{{100}}} \right| = \frac{1}{{100}} = 0,01\)

\(n = 1000 \Leftrightarrow \left| {{u_{1000}}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{1000}}}}{{1000}}} \right| = \frac{1}{{1000}} = 0,001\)

Như vậy ta có thể điền vào bảng như sau:

b) \(\left| {{u_n}} \right| < 0,01 \Leftrightarrow \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right| < 0,01 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < 0,01 \Leftrightarrow n > 100\)

Vậy \(\left| {{u_n}} \right| < 0,01\) khi \(n > 100\).

\(\left| {{u_n}} \right| < 0,001 \Leftrightarrow \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right| < 0,001 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < 0,001 \Leftrightarrow n > 1000\)

Vậy \(\left| {{u_n}} \right| < 0,001\) khi \(n > 1000\).

c) Dựa vào trục số ta thấy, khoảng cách từ điểm \({u_n}\) đến điểm 0 trở nên rất bé khi \(n\) trở nên rất lớn.

a) Công thức số hạng tổng quát \({u_n} = 5n,\;n \in {N^*}\).

b) Số hạng đầu \({u_1} = 5\), \({u_n} = {u_{n - 1}} + 5\)

Suy ra hệ thức truy hồi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}\; = 5\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 5\end{array} \right.\)

21 số hạng

1 số

a) Khi n ngày càng lớn thì các giá trị \({u_n}\) ngày càng giảm tiến dần về gần trục Ox.

b)

Kể từ số hạng \({u_{1001}}\) trở đi thì khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,001

Kể từ số hạng \({u_{10001}}\) trở đi thì khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,0001