a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{EAB}\) chung

Do đo: ΔAEB~ΔAFC

b: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

góc FAE chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

=>\(\hat{AEF}=\hat{ABC}\)

a: Xét (O) có

ΔABM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔABM vuông tại B

=>BM\(\perp\)AB

mà CH\(\perp\)AB

nên CH//BM

Xét (O) có

ΔACM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔACM vuông tại C

=>AC\(\perp\)CM

mà BH\(\perp\)AC

nên BH//CM

Xét tứ giác BHCM có

BH//CM

BM//CH

Do đó: BHCM là hình bình hành

b:

Xét ΔABC có

BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại D

Xét (O) có

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(\widehat{AMC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\)

Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{BAN}=90^0\)(ΔADB vuông tại D)

\(\widehat{AMC}+\widehat{MAC}=90^0\)(ΔACM vuông tại C)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\)

nên \(\widehat{BAN}=\widehat{MAC}\)

Xét (O) có

ΔANM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔANM vuông tại N

=>AN\(\perp\)NM

mà AN\(\perp\)BC

nên BC//NM

Ta có: \(\widehat{CHD}=\widehat{ABC}\)(=90 độ-góc FCB)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ANC}\)

Do đó: \(\widehat{CHD}=\widehat{ANC}\)

=>ΔCHN cân tại C

=>CH=CN

mà CH=BM

nên BM=CN

Xét tứ giác BCMN có BC//MN

nên BCMN là hình thang

Hình thang BCMN có BM=CN

nên BCMN là hình thang cân

Lời giải:

a) Tứ giác $AFHE$ có tổng 2 góc đối nhau  $\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0$ nên $AFHE$ là tứ giác nội tiếp.

b) $AK$ là đường kính thì $\widehat{ACK}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

Xét tam giác $ABD$ và $AKC$ có:

$\widehat{ADB}=\widehat{ACK}=90^0$

$\widehat{ABD}=\widehat{AKC}$ (góc nt cùng chắn cung $AC$)

$\Rightarrow \triangle ABD\sim \triangle AKC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{AK}{AC}$

$\Rightarrow AB.AC=AD.AK$ (đpcm)

Hình vẽ:

Sửa đề: M đối xứng H qua BC

Gọi AD là đường kính, I là giao của HD và BC

góc ABD=1/2*sđ cung AD=90 độ

=>BD//CH

góc ACD=1/2*sđ cung AD=90 độ

=>CD//BH

mà BD//CH

nên BHCD là hình bình hành

=>BC căt HD tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của HD và BC và BH//CD

góc AMD=1/2*sđ cung AD=90 độ

=>MD vuông góc AM

=>MD//BC

=>BCDM là hình thang cân

=>góc MBC=góc DCB=góc HBC

=>BC là phân giác của góc HBM

mà BC là trung tuyến của ΔHBM

nên ΔHMB cân tại B

=>BC là trug trực của MH

=>M đối xứng H qua BC

đó nha bn

a,Xét tg DHB và tg DCA có: ^HDB=^CDA=90 độ, ^DBH=^DAC ( cùng phụ với hai góc bằng nhau BHD=^AHE)

Do đó: tg HDB đồng dạng tg DCA (g.g)

Suy ra: HD/DC=BD/DA-> bd*dc=dh*da

b, HD/HA=SBHC/SABC

HE/BE=SAHC/SABC

HF/CF=SHAB/SABC

HD/HA+HE/BE+HF/CF=SBHC/SABC+SAHC/SABC+SAHB/SABC=1

Helps me !!!

a) Chứng minh $\triangle ABE \sim \triangle ACF$ và $\triangle AEF \sim \triangle ABC$

Xét hai tam giác $AEB$ và $AFC$:

- Góc $\widehat{A}$ chung.

- Góc $\widehat{ABE} = \widehat{ACF} = 90^\circ$.

Do đó $\triangle AEB \sim \triangle AFC$.

Xét tam giác $AEF$ và tam giác $ABC$:

- Góc $\widehat{A}$ chung.

- Góc tại $E$ trong $\triangle AEF$ bằng góc tại $B$ trong $\triangle ABC$.

Do đó $\triangle AEF \sim \triangle ABC$.

b) Chứng minh các tích độ dài

Vẽ $FK \perp BC$ tại $K$.

- Theo tính chất tam giác vuông và trực tâm: $AC \cdot AE = AH \cdot AD$.

- Theo tam giác vuông và đường cao: $CH \cdot DK = CD \cdot HF$.

c) Chứng minh $\dfrac{EI}{ED} = \dfrac{HI}{HD}$

Xét đường thẳng $AH$ cắt $EF$ tại $I$.

Theo tính chất đồng dạng tam giác và tỷ lệ đoạn thẳng:

$\dfrac{EI}{ED} = \dfrac{HI}{HD}$.

d) Chứng minh $\angle BME = \angle BNE = 180^\circ$

Gọi $M$ là trung điểm của $AF$, $N$ là trung điểm của $CD$.

Theo tính chất trung điểm và trực tâm, các điểm $B, M, E, N$ thẳng hàng.

Do đó $\angle BME = \angle BNE = 180^\circ$.

Xét ΔHDB VÀ ΔHEA, có:

\(\widehat{BHD}\) = \(\widehat{EHA}\)( đối đỉnh)

\(\widehat{BDH}\) = \(\widehat{HEA}\) = 90°( giả thiết )

Do đó ΔHDB ∞ ΔHEA

➜ \(\dfrac {HD}{HE}\) = \(\dfrac{HB}{HA}\) ➜ HA . HD = HB . HE