gọi m là 1 giá trị của biểu thức P, Khi đó hệ phương trình sau phải có nghiệm đối với x,y

\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=36\left(1\right)\\x-y+2004=m\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ ( 2 ) suy ra y = x + 2004 - m

Thế vào ( 2 ),ta được : \(16x^2+9\left(x+2004-m\right)^2=144.36=5184\)

\(\Leftrightarrow25x^2+18\left(2004-m\right)x+9\left(2004-m\right)^2-5184=0\)( 3 )

Hệ PT có nghiệm khi PT ( 3 ) có nghiệm 

\(\Rightarrow\Delta'=\left[9\left(2004-m\right)\right]^2-25\left[9\left(2004-m\right)^2-5184\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2004-m\right)^2\le900\Leftrightarrow-30\le2004-m\le30\)

\(\Leftrightarrow1974\le m\le2034\)

từ đó tìm được GTNN của P là 1974 khi \(x=\frac{-54}{5};y=\frac{96}{5}\)

GTLN của P là 2034 khi \(x=\frac{54}{5};y=\frac{-96}{5}\)

Answer:

3.

\(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+7x+7y+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+7.\left(x+y\right)+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+4y^2+40=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+49+4y^2-9=0\)

\(\Rightarrow\left(2S+7\right)^2=9-4y^2\le9\left(1\right)\)

\(\Rightarrow-3\le2S+7\le3\)

\(\Rightarrow-10\le2S\le-4\)

\(\Rightarrow-5\le S\le-2\left(2\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi: \(\left(1\right)\Rightarrow y=0\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S=x+y=-5\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(S=x+y=-2\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-2\end{cases}}\)

Từ giả thiết ta suy ra \(16x^2+9y^2=72^2.\) Theo bất đẳng thức Bunhia: \(36\times25=\left(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}\right)\left(9+16\right)=\left(\frac{x^2}{9}+\frac{\left(-y\right)^2}{16}\right)\left(9+16\right)\ge\left(x-y\right)^2\to-30\le x-y\le30.\)

Do đó \(1985\le P\le2045\).

Khi \(x=\frac{54}{5},y=-\frac{96}{5}\to\) thỏa mãn điều kiện và \(P=2045.\)

Khi \(x=-\frac{54}{5},y=\frac{96}{5}\to\) thỏa mãn điều kiện và \(P=1985.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(2045\) và giá trị bé nhất là \(1985.\)

\(x^2 + y^2 + xy = 3\)

=>\(x^2+y^2+2xy-xy=3\)

=>\(\left(x+y\right)^2=xy+3\)

Đặt v=xy

=>\(\left(x+y\right)^2=v+3\)

\(S = x^4 + xy + y^4\)

\(=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+xy=\left(3-v\right)^2-2v^2+v\)

\(=v^2-6v+9-2v^2+v=-v^2-5v+9\)

Điều kiện để tồn tại hai số thực x,y thỏa mãn u=x+y và v=xy là \(u^2\ge4v\)

=>3+v>=4v

=>3>=3v

=>v<=1

\(u^2=3+v\ge0\)

=>v>=-3

=>-3<=v<=1

Xét hàm số \(f(v) = -v^2 - 5v + 9\) trên tập [-3;1]

f'(v)=-2v-5

Đặt f'(v)=0

=>-2v-5=0

=>2v+5=0

=>v=-5/2∈[-3;1]

\(f(-2.5) = -(-2.5)^2 - 5(-2.5) + 9 = -6.25 + 12.5 + 9 = 15.25 = \frac{61}{4}\)

\(f(-3) = -(-3)^2 - 5(-3) + 9 = -9 + 15 + 9 = 15\)

\(f(1) = -(1)^2 - 5(1) + 9 = -1 - 5 + 9 = 3\)

Do đó: f(v) max=61/4 khi v=-2,5; f(v) min=3 khi v=1

=>S max=61/4; S min=3