Sai đề rồi nha bạn! 

Đề:  Cho  \(a,b,c>0\)  thỏa mãn  \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}.\)  Chứng minh rằng:  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{abc}\)

Lời giải:

Với mọi  \(a,b,c\in R\)  thì ta luôn có:

\(a^2+b^2+c^2\ge2bc+2ca-2ab\)  \(\left(\text{*}\right)\) 

Ta cần chứng minh  \(\left(\text{*}\right)\)  là bất đẳng thức đúng!

Thật vậy,  từ  \(\left(\text{*}\right)\)  \(\Leftrightarrow\)  \(a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\ge0\)

                             \(\Leftrightarrow\)  \(\left(a+b-c\right)^2\ge0\)  \(\left(\text{**}\right)\)

Bất đẳng thức  \(\left(\text{**}\right)\)  hiển nhiên đúng với mọi  \(a,b,c\) , mà các phép biến đổi trên tương đương 

Do đó, bất đẳng thức  \(\left(\text{*}\right)\)  được chứng minh.

Xảy ra đẳng thức trên khi và chỉ khi  \(a+b=c\)

Mặt khác,  \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\)  (theo giả thiết)

Mà  \(\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}<2\)

\(\Rightarrow\)  \(a^2+b^2+c^2<2\)  \(\left(\text{***}\right)\)

Từ  \(\left(\text{*}\right)\) kết hợp với  \(\left(\text{***}\right)\), ta có thể viết 'kép' lại:  \(2bc+2ca-2ab\le a^2+b^2+c^2<2\)

Suy ra  \(2bc+2ca-2ab<2\)

Khi đó, vì  \(abc>0\) (do  \(a,b,c\) không âm) nên chia cả hai vế của bất đẳng trên cho  \(2abc\), ta được:

\(\frac{2bc+2ca-2ab}{2abc}<\frac{2}{2abc}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{abc}\)

Vậy, với  \(a,b,c\)  là các số thực dương thỏa mãn điều kiện  \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\)  thì ta luôn chứng minh được:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{abc}\)

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)

=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2\)

=>\(2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

=>ab+bc+ac=0

\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\)

=>\(\dfrac{\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^3}=\dfrac{3}{abc}\)

=>\(\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3=3\left(abc\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(ab+bc\right)+\left(ac\right)^3=3\left(abc\right)^2\)

=>\(\left(-ac\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(-ac\right)+\left(ac\right)^3-3\left(abc\right)^2=0\)

=>\(-a^3c^3+a^3c^3+3a^2b^2c^2-3a^2b^2c^2=0\)

=>0=0(đúng)

ké ý (b) ạ!!!

a: \(\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)+\left(b-c\right)\left(b^2-c^2\right)+\left(c+a\right)\left(c^2-a^2\right)\)

\(=a^3-ab^2+a^2b-b^3+b^3-bc^2-b^2c+c^3+\left(c+a\right)\left(c^2-a^2\right)\)

\(=a^3+c^3-ab^2-b^2c+a^2b-bc^2+\left(c+a\right)\left(c+a\right)\left(c-a\right)\)

\(=\left(c+a\right)\left(c^2-ac+a^2\right)-b^2\left(c+a\right)-b\left(c-a\right)\left(c+a\right)+\left(c+a\right)^2\cdot\left(c-a\right)\)

=(c+a)\(\left(c^2-ac+a^2-b^2-bc+ba+c^2-a^2\right)\)

=(c+a)\(\left(2c^2-2a^2-b^2-ac-bc+ba\right)\)

b: \(a^3\left(b-c\right)+b^3\left(c-a\right)+c^3\left(a-b\right)\)

\(=a^3\left(b-c\right)+b^3\left(c-b+b-a\right)+c^3\left(a-b\right)\)

\(=a^3\left(b-c\right)-b^3\left(b-c\right)-b^3\left(a-b\right)+c^3\left(a-b\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left(a^3-b^3\right)-\left(a-b\right)\left(b^3-c^3\right)\)

=(b-c)(a-b)\(\left(a^2+ab+b^2-b^2+bc-c^2\right)\)

=(b-c)(a-b)\(\left(a^2+ab+bc-c^2\right)\)

=(b-c)(a-b)\(\left\lbrack\left(a-c\right)\left(a+c\right)+b\left(a+c\right)\right\rbrack\)

=(b-c)(a-b)(a+c)(a-c+b)

1, C/m : a^3 + b^3 + c^3 ≥ a^2.căn (bc) + b^2.căn (ac) + c^2.căn (ab) 
Ta có : 2( a^3 + b^3 + c^3 ) = ( a^3 + b^3 + c^3 ) + ( a^3 + b^3 + c^3 ) 
≥ 3abc + a^3 + b^3 + c^3 ( BĐT Côsi ) 
= a^3 + abc + b^3 + abc + c^3 + abc ≥ 2.a^2.căn (bc) + 2.b^2.căn (ac) + 2.c^2.căn (ab) ( BĐT Côsi ) 
=> a^3 + b^3 + c^3 ≥ a^2.căn (bc) + b^2.căn (ac) + c^2.căn (ab) 
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c. 


2, C/m : (a^2 + b^2 + c^2)(1/(a + b ) + 1/(b + c) +1/(a + c) ) ≥ (3/2)(a + b + c) ( 1 ) 
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho phân số ( :D ) ta được : 
(a^2 + b^2 + c^2)(1/(a + b ) + 1/(b + c) +1/(a + c) ) ≥ (a^2 + b^2 + c^2).[(1+1+1)^2/(a+b+b+c+a+c)] = (a^2 + b^2 + c^2) . 9/[2.(a+b+c)] 
(1) <=> (a^2 + b^2 + c^2) . 9/[2.(a+b+c)] ≥ (3/2)(a + b + c) 
<=> 3(a^2 + b^2 + c^2) ≥ (a + b + c)^2 
<=> a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca. 
BĐT cuối đúng nên => đpcm ! 
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c. 


3, C/m : a^4 + b^4 + c^4 ≥ (a + b + c)abc 
Ta có : 2( a^4 + b^4 + c^4 ) = (a^4 + b^4 +c^4) + (a^4 + b^4 +c^4) 
≥ ( a^2.b^2 + b^2.c^2 + c^2.a^2 ) + (a^4 + b^4 +c^4) = ( a^4 + b^2.c^2 ) + ( b^4 + c^2.a^2 ) + ( c^4 + a^2.b^2 ) 
≥ 2.a^2.bc + 2.b^2.ca + 2.c^2.ab ( BĐT Côsi ) 
= 2.abc(a + b + c) 
Do đó a^4 + b^4 + c^4 ≥ (a + b + c)abc 
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c. 

Cần gấp ko bạn

Nếu gấp thì sang web khác thử

ta có bđt phụ 1: với mọi số thực x;y ta luôn có xy\(\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

CM: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

=> \(x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

=> \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

ta CM tiếp bđt phụ thứ 2: với mọi số thực dương a, ta có \(a\left(1+a^2\right)\le\frac{\left(a+1\right)^2}{8}\)

CM: áp dụng bđt phụ thứ nhất ta có:

\(2a\left(1+a^2\right)\le\frac{\left\lbrack2a+\left(1+a^2\right)\right\rbrack^2}{4}=\frac{\left(a^2+2a+1\right)^2}{4}=\frac{\left(a+1\right)^4}{4}\)

=> \(a\left(1+a^2\right)\le\frac{\left(a+1\right)^4}{8}\)

CMTT: => \(b\left(1+b^2\right)\le\frac{\left(b+1\right)^4}{8}\)

=> \(c\left(1+c^2\right)\le\frac{\left(c+1\right)^4}{8}\)

=> \(abc\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\le\frac{\left\lbrack\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\right\rbrack^4}{512}\)

=> cần CM: \(\frac{\left\lbrack\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\right\rbrack^4}{512}\le8\Rightarrow\left(\left\lbrack a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\right\rbrack^4\le8^4\)

mà ta có : \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\le\frac{\left(a+1+b+1\right)^2}{4}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4}\)

vì a+b+c=3

=>a+b=3-c thay vào biểu thức trên ta có:

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\le\frac{\left(3-c+2\right)^2}{4}=\frac{\left(5-c\right)^2}{4}\)

=>\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\le\frac{\left(5-c\right)^2\left(c+1\right)}{4}\)

cần CM: \(\frac{\left(5-c\right)^2\left(c+1\right)}{4}\le8\Rightarrow\left(5-c\right)^2\left(c+1\right)\le32\)

\(\left(25-10c+c^2\right)\left(c+1\right)\le32\)

\(25c+25-10c^2-10c+c^3+c^2-32\le0\)

\(c^3-9c^2+15c-7\le0\)

\(c^3-c^2-8c^2+8c+7c-7\le0\)

\(c^2\left(c-1\right)-8c\left(c-1\right)+7\left(c-1\right)\le0\)

\(\left(c-1\right)\left(c^2-8c+7\right)\le0\)

\(\left(c-1\right)\left\lbrack c\left(c-1\right)-7\left(c-1\right)\right\rbrack\le0\)

\(\left(c-1\right)^2\left(c-7\right)\le0\)

vì a+b+c=3

=>0<c<3

=> \(\left(c-1\right)^2\left(c-7\right)\le0\) đúng với mọi c

vậy bđt dc chứng minh