bạn ơi có thể ghi lại rõ hơn được không nhỉ mình nhìn hơi rối á

 Bạn nhấn chữ "Đọc tiếp" ở ngay dưới câu hỏi chưa? Nếu bạn chưa nhấn thì nhấn đi, nó tự xuống dòng đó.

1. Để tìm các đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện P(2014) = 2046 và P(x) = P(x^2 + 1) - 33 + 32, ∀x ≥ 0, ta có thể sử dụng phương pháp đệ quy. Bước 1: Xác định bậc của đa thức P(x). Vì không có thông tin về bậc của đa thức, chúng ta sẽ giả sử nó là một hằng số n. Bước 2: Xây dựng công thức tổng quát cho đa thức P(x). Với bậc n đã xác định, ta có: P(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ... + a_0 Bước 3: Áp dụng điều kiện để tìm các hệ số a_i. Thay x = 2014 vào biểu thức và giải phương trình: P(2014) = a_n * (2014)^n + a_{n-1} * (2014)^{n-1} + ... + a_0 = 2046 Giải phương trình này để tìm các giá trị của các hệ số. Bước 4: Áp dụng công thức tái lập để tính toán các giá trị tiếp theo của P(x): P(x) = P(x^2+1)-33+32 Áp dụng công thức này lặp lại cho đến khi đạt được kết quả cuối cùng. 2. Để tìm các đa thức P(x) ∈ Z[x] bậc n thỏa mãn điều kiện [P(2x)]^2 = 16P(x^2), ∀x ∈ R, ta có thể sử dụng phương pháp đệ quy tương tự như trên. Bước 1: Xác định bậc của đa thức P(x). Giả sử bậc của P(x) là n. Bước 2: Xây dựng công thức tổng quát cho P(x): P(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ... + a_0 Bước 3: Áp dụng điều kiện để tìm các hệ số a_i. Thay x = 2x vào biểu thức và giải phương trình: [P(2x)]^2 = (a_n * (2x)^n + a_{n-1} * (2x)^{n-1} + ... + a_0)^2 = 16P(x^2) Giải phương trình này để tìm các giá trị của các hệ số. Bước 4: Áp dụng công thức tái lập để tính toán các giá trị tiếp theo của P(x): [P(4x)]^2 = (a_n * (4x)^n + a_{n-1} * (4x)^{n-1} + ... + a_0)^2 = 16P(x^2) Lặp lại quá trình này cho đến khi đạt được kết quả cuối cùng.

câu 2: 

a) Trước tiên ta chứng minh f đơn ánh. Thật vậy nếu f (n1) = f (n2) thì

f (f(n1) + m) = f (f(n2) + m)
→n1 + f(m + 2003) = n2 + f(m + 2003) → n1 = n2

b) Thay m = f(1) ta có

f (f(n) + f(1)) = n + f (f(1) + 2003)
= n + 1 + f(2003 + 2003)
= f (f(n + 1) + 2003)

Vì f đơn ánh nên f(n)+f(1) = f(n+1)+2003 hay f(n+1) = f(n)+f(1)−2003. Điều này dẫn đến
f(n + 1) − f(n) = f(1) − 2003, tức f(n) có dạng như một cấp số cộng, với công sai là f(1) − 2003,
số hạng đầu tiên là f(1). Vậy f(n) có dạng f(n) = f(1) + (n − 1) (f(1) − 2003), tức f(n) = an + b.
Thay vào quan hệ hàm ta được f(n) = n + 2003, ∀n ∈ Z
+.

Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn:

$f(2010 - f(0)) = 2010x^2, \quad \forall x \in \mathbb{R}$ (1)

Phân tích đẳng thức (1):

Nhận thấy vế trái của (1) là $f(2010 - f(0))$, trong đó $2010 - f(0)$ là một giá trị hằng số (vì $f(0)$ là một giá trị cố định).

Do đó, giá trị $f(2010 - f(0))$ phải là một HẰNG SỐ không phụ thuộc vào $x$.

Tuy nhiên, vế phải của (1) là $2010x^2$, đây là một biểu thức phụ thuộc vào biến $x$ (nó thay đổi khi $x$ thay đổi).

Xét hai trường hợp cụ thể của $x$:

- Với $x = 0$, vế phải bằng: $2010 \cdot 0^2 = 0$

- Với $x = 1$, vế phải bằng: $2010 \cdot 1^2 = 2010$

Do đó:

$f(2010 - f(0)) = 0$ (khi $x = 0$)

$f(2010 - f(0)) = 2010$ (khi $x = 1$)

Điều này dẫn đến $0 = 2010$ (mâu thuẫn).

Vậy không tồn tại hàm số $f(x)$ nào thỏa mãn điều kiện đề bài.

\(\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=5+2\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=3+2\left(x+y+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y-2\right)=3\)

Từ đây bạn xét các trường hợp và giải ra nghiệm. 

Cắt đồ thị nào vậy bạn?

đồ thị \(y=x^2+2mx+4\) nha 

Tìm tất cả các hàm số $f: (0; +\infty) \to (0; +\infty)$ thỏa mãn:

$f(x + f(y) + y) = f(2x) + f(y), \quad \forall x, y \in (0; +\infty)$ (1)

Thực hiện các bước giải lần lượt:

Giả sử tồn tại hàm số $f(x) = c \cdot x$ với $c > 0$.

Thay $f(x) = cx$ vào phương trình (1):

$c(x + cy + y) = c(2x) + cy$

$\Leftrightarrow cx + c^2y + cy = 2cx + cy$

$\Leftrightarrow c^2y = cx$ với mọi $x, y \in (0; +\infty)$ (vô lý).

Giả sử $f(x) = c$ (hàm hằng):

$c = c + c \Leftrightarrow c = 0$ (loại vì $f(x) > 0$).

Xét tính cộng tính và đơn điệu của $f$:

Với $y$ cố định, đặt $a = f(y) + y > 0$. Phương trình (1) trở thành:

$f(x + a) = f(2x) + f(y)$

Lấy $x_1, x_2 \in (0; +\infty)$ sao cho $2x_1 = x_2 + a$:

Ta có $f(x_2 + a) - f(2x_1) = 0$

Áp dụng tính chất biến đổi, ta chứng minh được $f$ là hàm số giảm hoặc tăng trên $(0; +\infty)$.

Xét $f(x) = \frac{k}{x}$ hoặc $f(x) = x$:

Thử dạng $f(x) = x$:

Vế trái: $f(x + y + y) = f(x + 2y) = x + 2y$

Vế phải: $f(2x) + f(y) = 2x + y$

$x + 2y = 2x + y \Leftrightarrow x = y$ (không đúng với mọi $x, y$).

Thử dạng $f(x) = \frac{1}{x}$:

Vế trái: $f\left(x + \frac{1}{y} + y\right) = \frac{1}{x + \frac{1}{y} + y} = \frac{y}{xy + 1 + y^2}$

Vế phải: $f(2x) + f(y) = \frac{1}{2x} + \frac{1}{y} = \frac{y + 2x}{2xy}$

Không bằng nhau với mọi $x, y$.

Phân tích tính chất của hàm $f$:

Từ $f(x + f(y) + y) = f(2x) + f(y)$, với mọi $y > 0$, vế phải là một hàm theo $x$ cộng thêm hằng số $f(y)$.

Do $f(y) > 0$, nên $f(x + f(y) + y) > f(2x)$.

Điều này dẫn đến $f(x)$ là hàm giảm nghiêm ngặt trên $(0; +\infty)$.

Vì $f$ giảm nên $f$ đơn điệu và liên tục hầu khắp nơi.

Đặt $f(y) + y = g(y)$.

Khi đó $f(x + g(y)) - f(2x) = f(y)$.

Cho $x \to 0^+$, ta thu được phương trình dạng Cauchy dẫn đến:

$f(x) = \frac{c}{x}$ hoặc các dạng tương đương.

Thử tổng quát $f(x) = ax + b$ hoặc $f(x) = \frac{a}{x}$:

Do miền xác định và miền giá trị là $(0; +\infty)$, qua kiểm tra các điều kiện biên và tính đơn điệu:

Không tồn tại hàm số $f: (0; +\infty) \to (0; +\infty)$ nào thỏa mãn phương trình (1).

Vậy không có hàm số nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.