Lời giải:

$a^2+b^2=(a^2-a+\frac{1}{4})+(b^2-b+\frac{1}{4})+(a+b-\frac{1}{2})$

$=(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2+(a+b-\frac{1}{2})$

$\geq a+b-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Vậy $a^2+b^2\geq \frac{1}{2}$
Giá trị này đạt tại $a-\frac{1}{2}=b-\frac{1}{2}=0$

$\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

Tại sao lại suy ra được hai dòng cuối vậy ạ?

a) \(\left(x+a\right).\left(x+b\right)=x.x+x.b+a.x+a.b=x^2+bx+ax+ab=x^2+\left(a+b\right)x+ab\)

Vậy (x + a) . (x + b) = x² + (a + b) . x + ab.

b)\(\left(x+a\right).\left(x+b\right).\left(x+c\right)=\left(x^2+bx+ax+ab\right).\left(x+c\right)\)(Vế đầu mình áp dụng luôn ở câu a)

\(=x^2.x+x^2.c+bx.x+bx.c+ax.x+ax.c+ab.x+ab.c\)

\(=x^3+cx^2+bx^2+cbx+ax^2+cax+abx+abc\)

\(=x^3+\left(cx^2+bx^2+ax^2\right)+\left(cbx+cax+abx\right)+abc\)

\(=x^3+\left(a+b+c\right)x^2+\left(ab+ac+bc\right)x+abc\)

Vậy (x + a) . (x + b) . (x + c) = x³ + (a + b + c) . x² + (ab + bc + ca) . x + abc.

Bai nay phai co dieu kien a,b >0 nha ban 

Ap dung bdt \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}< \frac{1}{4}\)  dau nho hon la do gia thiet nha ban

Ap dung bdt Cosi cho 2 so ko am 

 ta co A= \(ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}>2\sqrt{ab.\frac{1}{16ab}}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=2.\frac{1}{4}+\frac{15}{4}=\frac{17}{4}\)

Study well

câu trên không có điều kiện các bạn nhé ! chỉ có thế thôi!