a: y=(2m-3)x-1

=>(2m-3)x-y-1=0

Khoảng cách từ O đến (1) là:

d(O;(1))=\(\frac{\left|0\left(2m-3\right)+0\cdot\left(-1\right)-1\right|}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}\)

\(d\left(O;\left(1\right)\right)=\frac{1}{\sqrt5}\)

=>\(\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}=\frac{1}{\sqrt5}\)

=>\(\left(2m-3\right)^2+1=5\)

=>\(\left(2m-3\right)^2=4\)

=>2m-3=2 hoặc 2m-3=-2

=>2m=5 hoặc 2m=1

=>m=5/2 hoặc m=1/2

b: d(O;(1))=\(\frac{\left|0\left(2m-3\right)+0\cdot\left(-1\right)-1\right|}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}\)

Để d(O;(1)) lớn nhất thì \(\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}\) nhỏ nhất

=>2m-3=0

=>2m=3

=>m=3/2

a: y=(2m-3)x-1

=>(2m-3)x-y-1=0

Khoảng cách từ O đến (1) là:

d(O;(1))=\(\frac{\left|0\left(2m-3\right)+0\cdot\left(-1\right)-1\right|}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}\)

\(d\left(O;\left(1\right)\right)=\frac{1}{\sqrt5}\)

=>\(\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}=\frac{1}{\sqrt5}\)

=>\(\left(2m-3\right)^2+1=5\)

=>\(\left(2m-3\right)^2=4\)

=>2m-3=2 hoặc 2m-3=-2

=>2m=5 hoặc 2m=1

=>m=5/2 hoặc m=1/2

b: d(O;(1))=\(\frac{\left|0\left(2m-3\right)+0\cdot\left(-1\right)-1\right|}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}\)

Để d(O;(1)) lớn nhất thì \(\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}\) nhỏ nhất

=>2m-3=0

=>2m=3

=>m=3/2

Chọn C

Ta có  y ' = 3 x 2 - 6 m x + 3 ( m 2 - 1 )

Hàm số (1) có cực trị thì PT y ' = 0  có 2 nghiệm phân biệt

⇔ x 2 - 2 m x + m 2 - 1 = 0  có 2 nhiệm phân biệt

Khi đó, điểm cực đại A ( m - 1 ; 2 - 2 m ) và điểm cực tiểu  B ( m + 1 ; - 2 m )

Ta có  O A = 2 O B ⇔ m 2 + 6 m + 1 = 0

a: 

b: Để (d)//(d') thì \(\left\{{}\begin{matrix}m+1=2\\6< >-2\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>m+1=2

=>m=1

c:

(d'): y=(m+1)x+6

=>(m+1)x-y+6=0

Khoảng cách từ O đến (d') là:

\(d\left(O;\left(d'\right)\right)=\dfrac{\left|0\cdot\left(m+1\right)+0\cdot\left(-1\right)+6\right|}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+\left(-1\right)^2}}\)

\(=\dfrac{6}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+1}}\)

Để \(d\left(O;\left(d'\right)\right)=3\sqrt{2}\) thì \(\dfrac{6}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+1}}=3\sqrt{2}\)

=>\(\sqrt{\left(m+1\right)^2+1}=\sqrt{2}\)

=>\(\left(m+1\right)^2+1=2\)

=>\(\left(m+1\right)^2=1\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m+1=1\\m+1=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-2\end{matrix}\right.\)

Bạn viết sai rồi, đường thẳng y-mx+2 =0 hay y=mx+2 vậy bạn?

Lời giải:
$y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)=0$

$\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0$

$\Leftrightarrow x=m+1$ hoặc $x=m-1$

Với $x=m+1$ thì $y=-2m-2$. Ta có điểm cực trị $(m+1, -2m-2)$

Với $x=m-1$ thì $y=2-2m$. Ta có điểm cực trị $m-1, 2-2m$

$f''(m+1)=6>0$ nên $A(m+1, -2m-2)$ là điểm cực tiểu

$f''(m-1)=-6< 0$ nên $B(m-1,2-2m)$ là điểm cực đại 

$BO=\sqrt{2}AO$

$\Leftrightarrow BO^2=2AO^2$

$\Leftrightarrow (m-1)^2+(2-2m)^2=2(m+1)^2+2(-2m-2)^2$

$\Leftrightarrow m=-3\pm 2\sqrt{2}$

a: y=m(2x-1)+3-2x

=>y=2mx-m+3-2x

=>y=x(2m-2)-m+3

=>x(2m-2)-y-m+3=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\frac{\left|0\cdot\left(2m-2\right)+0\cdot\left(-1\right)-m+3\right|}{\sqrt{\left(2m-2\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{\left|m-3\right|}{\sqrt{4m^2-8m+5}}\)

d(O;(d))=1

=>\(\left|m-3\right|=\sqrt{4m^2-8m+5}\)

=>\(4m^2-8m+5=m^2-6m+9\)

=>\(3m^2-2m-4=0\)

=>\(m^2-\frac23m-\frac43=0\)

=>\(m^2-2\cdot m\cdot\frac13+\frac19-\frac{13}{9}=0\)

=>\(\left(m-\frac13\right)^2=\frac{13}{9}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}m-\frac13=\frac{\sqrt{13}}{3}\\ m-\frac13=-\frac{\sqrt{13}}{3}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=\frac{\sqrt{13}+1}{3}\\ m=\frac{-\sqrt{13}+1}{3}\end{array}\right.\)

b: Để d(O;(d)) lớn nhất thì \(4m^2-8m+5\) nhỏ nhất

=>\(4m^2-8m+4+1\) nhỏ nhất

=>\(\left(2m-2\right)^2+1\) nhỏ nhất

mà \(\left(2m-2\right)^2+1\ge1\forall m\)

nên dấu '=' xảy ra khi 2m-2=0

=>2m=2

=>m=1