1

\(f'\left(x\right)=3x^2-6x+1\Rightarrow f'\left(1\right)=-2\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 là:

\(\Delta:y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)\Rightarrow y=\left(-2\right)\left(x-1\right)-2\)

Ta có y'=3x^2 - 6x +1 

gọi M(x0;y0) là tiếp điểm

Ta có x0 =1 do đó yo =1^3 -3.1^2+1-1=-2

y'(1)=3.1^2-6.1+1=-2

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 là y=y'(1)(x-1)+(-2)=>y=-2x

Bài 2:

a: \(y=x^3+x-3\)

=>y'=\(3x^2+1\)

\(f\left(-1\right)=\left(-1\right)^3+\left(-1\right)-3=-1-1-3=-5\)

f'(-1)=\(3\cdot\left(-1\right)^2+1=4\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=-1 là:

y-f(-1)=f'(-1)(x+1)

=>y-(-5)=4(x+1)=4x+4

=>y+5=4x+4

=>y=4x-1

b: \(y=x^3-3x^2\)

=>y'=\(3x^2-3\cdot2x=3x^2-6x\)

Đặt y=-4

=>\(x^3-3x^2=-4\)

=>\(x^3-3x^2+4=0\)

=>(x+1)(x^2-4x+4)=0

=>x=-1 hoặc x=2

TH1: x=-1

y'(-1)=\(3\cdot\left(-1\right)^2-6\cdot\left(-1\right)=3+6=9\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=-1 là:

y-f(-1)=f'(-1)(x+1)

=>y-(-4)=9(x+1)=9x+9

=>y=9x+9-4=9x+5

TH2: x=2

=>y'(2)=\(3\cdot2^2-6\cdot2=0\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=2 là:

y-f(2)=f'(2)(x-2)

=>y-(-4)=0(x-2)

=>y=-4

c: \(y=\frac{x-3}{2x+1}\)

=>y'=\(\frac{\left(x-3\right)^{\prime}\left(2x+1\right)-\left(x-3\right)\left(2x+1\right)^{\prime}}{\left(2x+1\right)^2}=\frac{2x+1-2\left(x-3\right)}{\left(2x+1\right)^2}=\frac{7}{\left(2x+1\right)^2}\)

\(f\left(-1\right)=\frac{-1-3}{2\cdot\left(-1\right)+1}=\frac{-4}{-2+1}=\frac{-4}{-1}=4\)

f'(-1)=\(\frac{7}{\left\lbrack2\cdot\left(-1\right)+1\right\rbrack^2}=7\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=-1 là:

y-f(-1)=f'(-1)(x+1)

=>y-4=7(x+1)=7x+7

=>y=7x+11

Bài 3:

a: \(y=\frac13x^3-2x^2+3x+1\)

=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-2\cdot2x+3=x^2-4x+3\)

Gọi (d) là phương trình tiếp tuyến

(d)//y=-3/4

=>\(x^2-4x+3=-\frac34\)

=>\(x^2-4x+4=1-\frac34=\frac14\)

=>\(\left(x-2\right)^2=\frac14\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-2=\frac12\\ x-2=-\frac12\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac52\\ x=\frac32\end{array}\right.\)

TH1: x=5/2

\(f\left(\frac52\right)=\frac13\cdot\left(\frac52\right)^3-2\cdot\left(\frac52\right)^2+3\cdot\frac52+1=\frac13\cdot\frac{125}{8}-2\cdot\frac{25}{4}+\frac{15}{2}+1=\frac{125}{24}-\frac{25}{2}+\frac{15}{2}+1\)

\(=\frac{125}{24}-5+1=\frac{125}{24}-4=\frac{125-96}{24}=\frac{29}{24}\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=5/2 là:

y-f(5/2)=f'(5/2)(x-5/2)

=>y-29/24=-3/4(x-5/2)

=>\(y-\frac{29}{24}=-\frac34x+\frac{15}{8}\)

=>\(y=-\frac34x+\frac{15}{8}+\frac{29}{24}=\frac{-3}{4}x+\frac{74}{24}=-\frac34x+\frac{37}{12}\)

TH2: x=3/2

\(f\left(\frac32\right)=\frac13\cdot\left(\frac32\right)^3-2\cdot\left(\frac32\right)^2+3\cdot\frac32+1=\frac13\cdot\frac{27}{8}-2\cdot\frac94+\frac92+1=\frac98+1=\frac{17}{8}\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=3/2 là:

y-f(3/2)=f'(3/2)(x-3/2)

=>y-17/8=-3/4(x-3/2)=-3/4x+9/8

=>\(y=-\frac34x+\frac98+\frac{17}{8}=-\frac34x+\frac{26}{8}=-\frac34x+\frac{13}{4}\)

\(y'=6x^2-4x-4\)

\(y'\left(0\right)=-4\)

\(y\left(0\right)=1\)

Do đó pt tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=0 là:

\(y=-4\left(x-0\right)+1\Leftrightarrow y=-4x+1\)

Với mọi x0 ∈ R ta có:

a) Tiếp tuyến của y = x3 tại điểm (-1; -1) là:

y = f’(-1)(x + 1) + y(1)

    = 3.(-1)2(x + 1) – 1

    = 3.(x + 1) – 1

    = 3x + 2.

b) x0 = 2

⇒ y0 = f(2) = 23 = 8;

⇒ f’(x0) = f’(2) = 3.22 = 12.

Vậy phương trình tiếp tuyến của y = x3 tại điểm có hoành độ bằng 2 là :

y = 12(x – 2) + 8 = 12x – 16.

c) k = 3

⇔ f’(x0) = 3

⇔ 3x02 = 3

⇔ x02 = 1

⇔ x0 = ±1.

+ Với x0 = 1 ⇒ y0 = 13 = 1

⇒ Phương trình tiếp tuyến : y = 3.(x – 1) + 1 = 3x – 2.

+ Với x0 = -1 ⇒ y0 = (-1)3 = -1

⇒ Phương trình tiếp tuyến : y = 3.(x + 1) – 1 = 3x + 2.

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 có hệ số góc bằng 3 là y = 3x – 2 và y = 3x + 2.

cxvfdbhfcx

Ta có tâm của đường tròn \(I(5;3)\)

Tiếp tuyến nhận vectơ \(\overrightarrow {IM} \) làm vectơ pháp tuyến nên ta có: \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {IM}  = \left( {6;8} \right)\)

Điểm M nằm trên tiếp tuyến nên ta có phương trình:

\(6\left( {x - 11} \right) + 8\left( {y - 11} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 77 = 0\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 100\) tại điểm \(M(11;11)\) là \(3x + 4y - 77 = 0\)