Đề đúng : Tìm hai số nguyên a,b thỏa mãn : \(a^2+b^2+1=ab+a+b\)

Giải : \(a^2+b^2+1=ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+ab\right)=2\left(ab+a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow a=b=1\)

Vậy (a;b) = (1;1)

Có : \(a^2+1=a^2+ab+ac+bc=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

Tương tự : \(b^2+1=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)và    \(c^2+1=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

Suy ra : \(S=\left(a+b\right)\left(a+c\right).\left(a+b\right)\left(b+c\right).\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow S=\left[\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\right]^2\)là số chính phương \(\forall\)a ,b ,c nguyên !

với ab+bc+ca=1, ta có 

\(a^2+1=a^2+ab+bc+ca=\left(a^2+ab\right)+\left(bc+ca\right)\)\(=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

tương tự tra có \(b^2+1=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)

                          \(c^2+1=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

=> S=\(\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\) 

mà a,b, c là các số nguyên => \(\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\) là số chính phương 

=> S là số chính phương (ĐPCM)

Xem nó là phương trình ẩn a rồi dùng \(\Delta\)là ra

Câu hỏi của Cuồng Song Joong Ki - Toán lớp 8  (em không chắc đâu nha)

BÀi này dễ tí mik giải cho

Ta có: 

\(a^2+1=a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

Tương tự suy ra biểu thức đã cho bằng \(\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\) và là số chính phương

Ta có: \(\begin{cases} ab + bc + ca + 2(a + b + c) = 8045 \quad &(1) \\ abc - a - b - c = -2 \quad &(2) \end{cases}\)

(2) =>a+b+c=abc+2

(1) =>\(ab + bc + ca + 2(abc + 2) = 8045\)

=>\(ab+bc+ca+2abc+4=8045\)

=>ab+bc+ac+2abc=8041(4)

(2)=>\(abc - a - b - c + 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow (a - 1)(b - 1)(c - 1) = abc - (ab + bc + ca) + (a + b + c) - 1\)

=>\((a - 1)(b - 1)(c - 1) = abc - (ab + bc + ca) + (abc + 2) - 1\)

=>\((a - 1)(b - 1)(c - 1) = 2abc - (ab + bc + ca) + 1 \quad (5)\)

Từ (4),(5) suy ra \((ab + bc + ca + 2abc) + (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 8041 + 2abc - (ab + bc + ca) + 1\)

=>\((a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0\)

=>a,b,c phải có một trong ba số bằng 1

Giả sử a=1

Thay a=1 vào (2), ta được:

\(1\cdot bc-1-b-c=-2\)

=>\(bc-b-c+1=0\)

=>(b-1)(c-1)=0

=>b=1 hoặc c=1

Giả sử b=1

Thay a=1 và b=1 vào (1), ta được:

\(1 \cdot 1 + 1 \cdot c + c \cdot 1 + 2(1 + 1 + c) = 8045\)

=>4c+5=8045

=>4c=8040

=>c=2020

a+b+c

=1+1+2020

=2022