Viết lại đề đi bạn.

Ta có :

\(2^m+2^n=2^{m+n}\Leftrightarrow2^{m+n}-2^m-2^n=0\)

\(\Leftrightarrow2^m.\left(2^n-1\right)-\left(2^n-1\right)=1\Leftrightarrow\left(2^n-1\right).\left(2^m-1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2^n-1=1\\2^m-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow m=n=1\)

Vậy m = 1 ; n = 1

TH1: m=3k

\(m^2+3=\left(3k\right)^2+3=9k^2+3=3\left(3k^2+1\right)\) (1)

TH2: m=3k+1

\(m^2+3=\left(3k+1\right)^2+3\)

\(=9k^2+6k+1+3=3\left(3k^2+2k+1\right)+1\) (2)

TH3: m=3k+2

\(m^2+3=\left(3k+2\right)^2+3\)

\(=9k^2+12k+4+3=9k^2+12k+6+1=3\left(3k^2+4k+2\right)+1\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra dù trong trường hợp nào thì khi phân tích \(m^2+3\), ta sẽ có: bộ phận "chứa các ước không chia hết cho 3" của \(m^2+3\) luôn là một số chia 3 dư 1

TA có: Một số nguyên dương X bất kỳ luôn phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố sẽ có dạng như sau: \(X = q_1 \cdot q_2 \cdots q_r\)

Khi chia cho 3 thì các số nguyên tố q chỉ có thể thuộc 1 trong 3 nhóm: chia hết cho 3; chia 3 dư 1; chia 3 dư 2

TH1: Nếu chỉ có các thừa số có dạng là 3a+1;3b+1;... nhân với nhau

(3a+1)(3b+1)

=9ab+3a+3b+1

=3(3ab+a+b)+1

=>kết quả mãi là một số chia 3 dư 1

TH2: nếu có chứa thừa số dạng 3b+2

Nếu là 1 thừa số dạng (3b+2) nhân với số dạng (3a+1) thì ta sẽ có:

(3a+1)(3b+2)

=9ab+6a+3b+2

=3(3ab+2a+b)+2

=>Chia 3 dư 2

Nếu là 2 thừa số dạng (3b+2) nhân với nhau:

(3a+2)(3b+2)

=9ab+6a+6b+4

=3(3ab+2a+2b+1)+1

=>Chia 3 dư 1

Ta sẽ có quy luật sau:

-Muốn tích ra số dư 1, số lượng các thừa số dạng 3b+2 bắt buộc phải là số chẵn (0, 2, 4,... thừa số).

-Muốn tích ra số dư 2, số lượng các thừa số dạng 3b+2 bắt buộc phải là số lẻ (1, 3, 5,... thừa số).

Giả sử \(m^2+3\) ⋮p

=>\(m^2+3\) ⋮3n+2

p=3n+2 chia 3 dư 2

=>p là số lẻ và p chứa thừa số chia 3 dư 2

=>\(m^2+3\) cũng phải chứa thừa số có dạng chia 3 dư 2

mà phần không chia hết cho 3 của \(m^2+3\) phải chia 3 dư 1(cmt)

nên Nó chỉ được chứa một số chẵn thừa số nguyên tố dạng 3b+2

mà Một số thì không thể vừa chứa số lẻ vừa chứa số chẵn thừa số dạng 3b + 2 được.

nên m∈∅

\(2^m+2^n=2^{m+n}\)--->Chia 2 vế cho 2ⁿ

\(\Rightarrow2^{m-n}+1=2^m\Leftrightarrow2^m-2^{m-n}=1\)

\(\Leftrightarrow2^{m-n}\left(2^n-1\right)=1\)---> Các lũy thừa số mũ tự nhiên của 2 không thể bé hơn 1 nên pt chỉ có nghiệm khi:

\(\hept{\begin{cases}2^{m-n}=1\\2^n-1=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2^{m-n}=2^0\\2^n=2^1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}m-n=0\\n=1\end{cases}\Rightarrow}m=n=1}\)

\(2^m+2^n=2^{m+n}\Leftrightarrow2^m.2^n-2^m-2^n+1=1\)

\(2^m\left(2^n-1\right)-\left(2^n-1\right)=1\Leftrightarrow\left(2^m-1\right)\left(2^n-1\right)=1\)

Vì \(2^m-1\)và \(2^n-1\)đều lớn hơn 0 nên ta chỉ có một trường hợp \(\hept{\begin{cases}2^m-1=1\\2^n-1=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=1\\n=1\end{cases}}}\)

Ta có: \(2^m-2^n=256\)

\(\Leftrightarrow2^n\left(2^{m-n}-1\right)=256\)(1)

Ta có: \(2^m-2^n=256\)

\(\Leftrightarrow2^m>2^n\)

\(\Leftrightarrow m>n\)

(1) suy ra \(2^{m-n}-1\) là số lẻ

\(\Leftrightarrow2^{m-n}-1=1\)

\(\Leftrightarrow m-n=1\)

\(\Leftrightarrow2^n=256\)

hay n=8

hay m=1+n=1+8=9

Vậy: (m,n)=(9;8)

Bạn Nguyễn Lê Phước Thịnh ơi? Nhưng mik vẫn ko hiểu tại sao \(2^{m-n}-1\)là số lẻ và m>n lại suy ra được \(2^{m-n}-1=1\)?

TH1 3m-1/2n là dương suy ra 3m-1 chia hết cho 2n

Để 3m-1 chia hết cho 2n suy ra 3m-1 là chẵn

                                           suy ra 3m là lẻ

                                           suy ra m là lẻ  và n có thể là bất kì số nào(n,m thuộc N)

TH2     

3n-1/2m là dương suy ra 3n-1 chia hết cho 2m

Để 3n-1 chia hết cho 2m suy ra 3n-1 là chẵn

                                           suy ra 3n là lẻ

                                           suy ra n là lẻ  và m có thể là bất kì số nào(n,m thuộc N)

vậy n,m là lẻ

THỬ lại đi sai rùi

Nếu 2^m + 2ⁿ = 2^m+n 

thì:  2^m + 2ⁿ  = 2^m.2ⁿ

=>  2^m = 2^m.2ⁿ - 2ⁿ

=>  2^m = 2ⁿ.(2^m-1)

=>  1   = (2ⁿ - 1).(2^m-1)

 còn lại bạn lập bảng tự làm nhé