Tìm tất cả hàm số f: N-->N thỏa mãn f(f(n)) =n+2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 6 2023
câu 2:
a) Trước tiên ta chứng minh f đơn ánh. Thật vậy nếu f (n1) = f (n2) thì
f (f(n1) + m) = f (f(n2) + m)
→n1 + f(m + 2003) = n2 + f(m + 2003) → n1 = n2
b) Thay m = f(1) ta có
f (f(n) + f(1)) = n + f (f(1) + 2003)
= n + 1 + f(2003 + 2003)
= f (f(n + 1) + 2003)
Vì f đơn ánh nên f(n)+f(1) = f(n+1)+2003 hay f(n+1) = f(n)+f(1)−2003. Điều này dẫn đến
f(n + 1) − f(n) = f(1) − 2003, tức f(n) có dạng như một cấp số cộng, với công sai là f(1) − 2003,
số hạng đầu tiên là f(1). Vậy f(n) có dạng f(n) = f(1) + (n − 1) (f(1) − 2003), tức f(n) = an + b.
Thay vào quan hệ hàm ta được f(n) = n + 2003, ∀n ∈ Z
+.
ML
12 tháng 8 2015
Đăng mấy bài này trên đây khó nhận được đáp án lắm! Nên đăng trên một số diễn đàn nhiều pro như:
Diễn đàn Toán học
Diễn Đàn MathScope
.......
Bài 1.
+TH1: Đa thức có bậc là 0
\(f\left(x\right)=a\text{ }\left(a\in R\right)\forall x\in R\)
Theo đề ra: \(16a^2=a^2\Rightarrow a=0\)
Vậy \(f\left(x\right)=0\forall x\in R\)
+TH2: Đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.
Giả sử đa thức có bậc n.
Gọi hệ số cao nhất của đa thức là \(a_n\text{ }\left(a_n\ne0\right)\)
Từ giả thiết, suy ra: \(16a_n^2=\left(2a_n\right)^2\Leftrightarrow16a_n^2=4a_n^2\Leftrightarrow a_n=0\text{ (vô lí)}\)
Vậy điều giả sử sai, hay không có đa thức nào thỏa mãn.
Vậy chỉ có \(f\left(x\right)=0\forall x\in R\) thỏa mãn để bài.
TT
0
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
29 tháng 8
Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn:
$f(2010 - f(0)) = 2010x^2, \quad \forall x \in \mathbb{R}$ (1)
Phân tích đẳng thức (1):
Nhận thấy vế trái của (1) là $f(2010 - f(0))$, trong đó $2010 - f(0)$ là một giá trị hằng số (vì $f(0)$ là một giá trị cố định).
Do đó, giá trị $f(2010 - f(0))$ phải là một HẰNG SỐ không phụ thuộc vào $x$.
Tuy nhiên, vế phải của (1) là $2010x^2$, đây là một biểu thức phụ thuộc vào biến $x$ (nó thay đổi khi $x$ thay đổi).
Xét hai trường hợp cụ thể của $x$:
- Với $x = 0$, vế phải bằng: $2010 \cdot 0^2 = 0$
- Với $x = 1$, vế phải bằng: $2010 \cdot 1^2 = 2010$
Do đó:
$f(2010 - f(0)) = 0$ (khi $x = 0$)
$f(2010 - f(0)) = 2010$ (khi $x = 1$)
Điều này dẫn đến $0 = 2010$ (mâu thuẫn).
Vậy không tồn tại hàm số $f(x)$ nào thỏa mãn điều kiện đề bài.
Giả sử tồn tại hàm \(f\left(n\right)\)thỏa mãn đề bài.
Ta sẽ chứng minh \(f\left(n\right)=n+1\)với mọi \(n\inℕ\).(1)
Thật vậy, (1) đúng với \(n=0\). \(f\left(0\right)=1,f\left(f\left(0\right)\right)=f\left(1\right)=2=0+2\)
Giả sử (1) đúng đến \(n=k\ge1\)tức là \(f\left(k\right)=k+1\)
Ta sẽ chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)tức là \(f\left(k+1\right)=k+2\).
Thật vậy, ta có: \(f\left(k+1\right)=f\left(f\left(k\right)\right)=k+2\).
Do đó (1) đúng với \(n=k+1\).
Theo giả thiết quy nạp (1) đúng với mọi \(n\inℕ\).
Vậy \(f\left(n\right)=n+1\).