Áp dụng tính chất `|P|>=P,|P|>=-P`

`=>{(|x+5|>=x+5),(|x+1|>=-x-1):}`

`=>|x+5|+|x+1|>=x+5-x-1=4`

Mặt khác:`|x+3|>=0`

`=>|x+1|+|x+3|+|x+5|>=4(đpcm)`

Dấu "=" xảy ra khi `x=-3`

c) Áp dụng BĐT cô si cho 2 hai số dương \(a;b\) ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow a=b\)

\(\left(x-3\right)\left(x+5\right)+20=x^2+2x-15+20=x^2+2x+5=\left(x+1\right)^2+4\)

Vì \(\left(x+1\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+1\right)^2+4\ge4\Rightarrow\left(x-3\right)\left(x+5\right)+20\ge4\)

Dấu "=" xảy ra khi (x+1)²=0 =>x+1=0=>x=-1

|7-2|x-1||=x-5

=>|2|x-1|-7|=x-5 và x>=5

=>(2|x-1|-7=x-5 hoặc 2|x-1|-7=5-x) và x>=5

=>(2|x-1|=x-5+7=x+2 hoặc 2|x-1|=5-x+7=12-x) và x>=5

TH1: 2|x-1|=x+2

=>\(\begin{cases}x+2\ge0\\ \left(2x-2\right)^2=\left(x+2\right)^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge-2\\ \left(2x-2-x-2\right)\left(2x-2+x+2\right)=0\end{cases}\)

=>x>=-2 và 3x(x-4)=0

=>x=4 hoặc x=0

Thay lại vào phương trình, ta thấy x=4 và x=0 đều bé hơn 5

=>Loại

TH2: 2|x-1|=12-x

=>\(\begin{cases}12-x\ge0\\ \left(2x-2\right)^2=\left(x-12\right)^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\le12\\ \left(2x-2-x+12\right)\left(2x-2+x-12\right)=0\end{cases}\)

=>x<=12 và (x+10)(3x-14)=0

=>5<=x<=12 và (x+10)(3x-14)=0

=>x∈∅

Vậy: x∈∅