a) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Hàm số x² và sinx liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số \(g\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + \frac{6}{{x - 1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Hàm số \({x^4} - {x^2}\) liên tục trên toàn bộ tập xác định

Hàm số \(\frac{6}{{x - 1}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

c) Hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 4}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {-4;3} \right\}.\)

Hàm số \(\frac{{2x}}{{x - 3}}\)  liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right).\)

Hàm \(\frac{{x - 1}}{{x + 4}}\)  liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;-4} \right)\) và \(\left( {-4; + \infty } \right).\)

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng  \(\left( {-\infty ;-4} \right)\), \(\left( {-4;3} \right)\), \(\left( {3; + \infty } \right).\)

a)\(\forall x\Rightarrow sinx\le1\Rightarrow1-sinx\ge0\)

cosx\(\ge-1\Rightarrow1+cosx\ge0\)

ĐK:cosx\(\ne-1\Leftrightarrow x\ne\pi+k2\pi\)

\(\Rightarrow D=\left\{R\backslash\left\{\pi+k2\pi\right\}\right\}\)

b)ĐK:\(cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\ne0\Leftrightarrow2x+\frac{\pi}{3}\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\Leftrightarrow x\ne\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\)

\(\Rightarrow D=\left\{R\text{\}\left\{\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\right\}\right\}\)

\(y=\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)+m-1}{2cos^24x+\dfrac{3}{2}cos4x+\dfrac{21}{2}-5m}}\) 

Hàm xác định trên R khi:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)+m-1\ge0\\2cos^24x+\dfrac{3}{2}cos4x+\dfrac{21}{2}-5m>0\end{matrix}\right.\) ;\(\forall x\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m\le\min\limits_R\left(\sqrt{2}sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)-1\right)=-1-\sqrt{2}\\5m< \min\limits_R\left(2cos^24x+\dfrac{3}{2}cos4x+\dfrac{21}{2}\right)=\dfrac{327}{32}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge1+\sqrt{2}\\m< \dfrac{327}{160}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\in\varnothing\)

Th2: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)+m-1\le0\\2cos^24x+\dfrac{3}{2}cos4x+\dfrac{21}{2}-5m< 0\end{matrix}\right.\) ;\(\forall x\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le\min\limits_R\left(\sqrt{2}sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)-1\right)=-1-\sqrt{2}\\5m>\max\limits_R\left(2cos^24x+\dfrac{3}{2}cos4x+\dfrac{21}{2}\right)=14\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le-1-\sqrt{2}\\m>\dfrac{14}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\in\varnothing\)

Anh ơi! Anh giúp em câu này ạ anh! Anh cho em xin phương pháp xác định điểm M và N theo hình chiếu song song với ạ (tổng quát cho mọi bài ạ anh.), em cũng chưa rõ phương pháp làm, nhìn hình mò một số đường để ra. 

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-hinh-hop-abcdabcd-xac-dinh-diem-m-thuoc-ac-n-thuoc-bd-sao-cho-mn-di-voi-i-la-trung-diem-cua-aa-tinh-mamc.8751928472360

Điều kiện xác định của hàm số là : \(\sin x+\cos x\ne0\Leftrightarrow\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\ne0\)

                                                  \(x+\frac{\pi}{4}\ne k\pi\Leftrightarrow x\ne-\frac{\pi}{4}+k\pi\)

Suy ra tập xác định là : \(D=R\backslash\left\{-\frac{\pi}{4}+k\pi\right\}\)

a: ĐKXĐ: \(1-\sin\left(x-\frac{\pi}{8}\right)>0\) và \(2x-\frac{\pi}{4}<>\frac{\pi}{2}+k\pi\)

=>\(\sin\left(x-\frac{\pi}{8}\right)<1\) và \(2x<>\frac34\pi+k\pi\)

=>\(\sin\left(x-\frac{\pi}{8}\right)<>1\) và \(x<>\frac38\pi+k\pi\)

=>\(x-\frac{\pi}{8}<>\frac{\pi}{2}+k2\pi\) và \(x<>\frac38\pi+k\pi\)

=>\(x<>\frac58\pi+k2\pi\) và \(x<>\frac38\pi+k\pi\)

=>TXĐ là D=R\{\(\frac58\pi+k2\pi;\frac38\pi+k\pi\) }

b: ĐKXĐ: \(\begin{cases}1-cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)<>0\\ x-\frac{\pi}{4}<>\frac{\pi}{2}+k\pi\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)<>1\\ x<>\frac34\pi+k\pi\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x+\frac{\pi}{3}<>k2\pi\\ x<>\frac34\pi+k\pi\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<>-\frac{\pi}{3}+k2\pi\\ x<>\frac34\pi+k\pi\end{cases}\)

=>TXĐ là D=R\{\(-\frac{\pi}{3}+k2\pi;\frac34\pi+k\pi\) }

c: ĐKXĐ: cosx-cos3x<>0

=>cos3x<>cosx

=>\(\begin{cases}3x<>x+k2\pi\\ 3x<>-x+k2\pi\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x<>k2\pi\\ 4x<>k2\pi\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<>k\pi\\ x<>\frac{k\pi}{2}\end{cases}\)

=>\(x<>\frac{k\pi}{2}\)

=>TXĐ là D=R\{\(\frac{k\pi}{2}\) }

d: ĐKXĐ: \(\sin^2x-cos^2x<>0\)

=>\(cos^2x-\sin^2x<>0\)

=>cos 2x<>0

=>\(2x<>\frac{\pi}{2}+k\pi\)

=>\(x<>\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)

=>TXĐ là D=R\{\(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\) }
e: ĐKXĐ: \(\begin{cases}x+\frac{\pi}{3}<>k\pi\\ 3x-\frac{\pi}{4}<>\frac{\pi}{2}+k\pi\\ 3x-\frac{\pi}{4}<>k\pi\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x<>-\frac{\pi}{3}+k\pi\\ 3x<>\frac34\pi+k\pi\\ 3x<>\frac{\pi}{4}+k\pi\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<>-\frac{\pi}{3}+k\pi\\ x<>\frac14\pi+\frac{k\pi}{3}\\ x<>\frac{1}{12}\pi+\frac{k\pi}{3}\end{cases}\)

=>TXĐ là D=R\{\(-\frac{\pi}{3}+k\pi;\frac14\pi+\frac{k\pi}{3};\frac{1}{12}\pi+\frac{k\pi}{3}\) }

Biểu thức \(\frac{1}{{\sin x}}\) có nghĩa khi \(\sin x \ne 0\), tức là \(x \ne k\pi \;\left( {k\; \in \;\mathbb{Z}} \right)\).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathbb{R}/{\rm{\{ }}k\pi {\rm{|}}\;k\; \in \;\mathbb{Z}\} \;\)

Hàm số xác định khi \(x-1\ne0\Leftrightarrow x\ne1\)