a: Số phức liên hợp của z=2+3i là: \(\overline{z}=2-3i\)

\(\left|z\right|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)

b: \(z=\left(2+3i\right)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3i+3\cdot2\cdot\left(3i\right)^2+\left(3i\right)^3\)

\(=8+36i+6\cdot9\cdot\left(-1\right)-27i=-46+9i\)

=>\(\overline{z}=-46-9i\)

\(\left|z\right|=\sqrt{\left(-46\right)^2+9^2}=13\sqrt{13}\)

c: \(z=\frac{2+3i}{1-2i}=\frac{\left(2+3i\right)\left(1+2i\right)}{\left(1-2i\right)\left(1+2i\right)}\)

\(=\frac{2+4i+3i+6i^2}{1-4i^2}=\frac{7i-4}{5}\)

=>\(\overline{z}=\frac{7i+4}{5}\)

\(\left|z\right|=\sqrt{\left(\frac75\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=\frac{\sqrt{65}}{5}\)

d: \(z=\sqrt2-\frac43i\)

=>\(\overline{z}=\sqrt2+\frac43i\)

\(\left|z\right|=\sqrt{\left(\sqrt2\right)^2+\left(-\frac43\right)^2}=\sqrt{2+\frac{16}{9}}=\sqrt{\frac{34}{9}}=\frac{\sqrt{34}}{3}\)

\(z^6 - z^5 + z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 = 0 \quad (1)\)

=>\((z+1)(z^6-z^5+z^4-z^3+z^2-z+1)=0\)

=>\(z^7+1=0\iff z^7=-1\)

Vì z=-1 không thỏa mãn (1) nên z là nghiệm của \(z^7=-1\) sao cho z<>-1

\(\vert{}z\vert{}^7=\vert{}-1\vert{}=1\)

=>\(\vert{}z\vert{}=1\)

\(w = z(z^2 - z + 1) = z^3 - z^2 + z\)

=>\(w + 1 = z^3 - z^2 + z + 1\)

(1): \(z^6 - z^5 + z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 = 0\)

=>\(z^4(z^2-z+1)-(z^3-z^2+z)+1=0\)

=>\(z^4\cdot\frac{w}{z}-w+1=0\)

=>\(z^3w-w+1=0\)

=>\(w(1-z^3)=1\)

=>\(w=\frac{1}{1 - z^3}\)

Đặt \(z^3 = \cos \varphi + i \sin \varphi\)

=>\(w = \frac{1}{1 - (\cos \varphi + i \sin \varphi)} = \frac{1}{(1 - \cos \varphi) - i \sin \varphi}\)

=\(\frac{(1 - \cos\varphi) + i \sin\varphi}{(1 - \cos\varphi)^2 + \sin^2 \varphi}\)

\(=\frac{1 - \cos\varphi}{2(1 - \cos\varphi)}+i\cdot\frac{\sin\varphi}{2(1 - \cos\varphi)}=\frac{1}{2}+i\cdot\frac{\sin\varphi}{2(1 - \cos\varphi)}\)

=>Phần thực là 1/2

a) Đặt Z = z² , ta được phương trình Z² + Z – 6 = 0

Phương trình này có hai nghiệm là Z₁ = 2, Z₂ = -3

Vậy phương trình có bốn nghiệm là ± √2 và ± i√3.

b) Đặt Z = z² , ta được phương trình Z² + 7Z + 10 = 0

Phương trình này có hai nghiệm là Z₁ = -5, Z₂ = -2

Vậy phương trình có bốn nghiệm là ± i√2 và ± i√5.

.

Chọn  C.

Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của phương trình là:

z₁= 1; z₂= - 2; z₃= 1+ i và z₄ = 1 - i 

Thay vào biểu thức 

Đáp án C

Cách 1: Số phức z được biểu diễn bởi điểm M(x;y).

Số phức z₁ được biểu diễn bởi điểm A(1;-1).

Em có: |z - 1 + i| = 2 => MA = 2

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm A(1;-1), bán kính R = 2 và có phương trình:

Cách 2: Đặt . Số phức z được biểu diễn bởi điểm M(x;y).

Em có:

Vậ tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R = 2 và có phương trình: 

Đáp án C

Cách 1: Số phức z được biểu diễn bởi điểm M(x;y).

Số phức  z 1 được biểu diễn bởi điểm A(1;-1).

Em có:  z − 1 + i = 2 ⇒ MA = 2 .

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm A(1;-1), bán kính R = 2 và có phương trình:  x − 1 2 + y + 1 2 = 4 .

Cách 2: Đặt  z = x + yi ,   x ; y ∈ ℝ . Số phức z được biểu diễn bởi điểm M(x;y).

Em có:

z − 1 + i = 2 ⇔ x − 1 + y + 1 i = 2 ⇔ x − 1 2 + y + 1 2 = 2 ⇔ x − 1 2 + y + 1 2 = 4

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R = 2 và có phương trình:

x − 1 2 + y + 1 2 = 4 .

Đáp án C.

Đặt z = a + bi 

Ta có: 

Vậy quỹ tích là một parabol