Bài 2: 

a: Xét ΔABC vuông tại B có 

\(AB^2+BC^2=AC^2\)

hay BC=20(cm)

Xét ΔABC vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}BA^2=AH\cdot AC\\BC^2=CH\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=9\left(cm\right)\\CH=16\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

2.

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(AB=15\text{ cm}\), \(AC=25\text{ cm}\), kẻ đường cao \(BH\).

Theo định lí Pythagore:

$BC^2=AC^2-AB^2=25^2-15^2=400$

$BC=\sqrt400=20\text$

Trong tam giác vuông \(ABC\), ta có:

$AB^2=AH\cdot AC$

$AH=\dfrac=\dfrac1325=9\text$

$HC=AC-AH=25-9=16\text$

Vậy \(AH=9\text{ cm}, HC=16\text{ cm}, BC=20\text{ cm}\).

Vì \(E,F\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB,BC\), nên:

- \(HE\perp AB\), mà \(BC\perp AB\), suy ra \(HE\parallel BC\).

- \(HF\perp BC\), mà \(AB\perp BC\), suy ra \(HF\parallel AB\).

Mà \(BE\subset AB,\ BF\subset BC\), nên \(BE\parallel HF\) và \(BF\parallel HE\).

Vậy tứ giác \(BEHF\) là hình bình hành có một góc vuông, nên là hình chữ nhật.

Vì \(BEHF\) là hình chữ nhật nên hai đường chéo \(BH\) và \(EF\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Do đó:

$BO=\dfrac2$

$4BO^2=BH^2$

Trong tam giác vuông \(ABC\), đường cao \(BH\) ứng với cạnh huyền \(AC\), nên:

$BH^2=AH\cdot HC$

Suy ra:

$HA\cdot HC=4BO^2$

Tiếp theo, vì \(BEHF\) là hình chữ nhật nên \(BE=HF\), \(BF=HE\).

Xét hai tam giác vuông \(BHF\) và \(ABC\), ta có \(\triangle BHF\sim\triangle ABC\), nên:

$\dfrac=\dfrac$

Mặt khác, từ \(\triangle BHE\sim\triangle CBA\), ta có:

$\dfrac=\dfrac$

Suy ra:

$\dfrac=\dfrac$

Do đó:

$BE\cdot BA=BF\cdot BC$

Vì \(BEHF\) là hình chữ nhật nên \(EF\parallel BH\).

Suy ra:

$\widehat=\widehat$

Vì \(\triangle ABH\sim\triangle CBA\), nên:

$\widehat=\widehat$

Vậy:

$\widehat=\widehat$

Vì \(M\) là trung điểm của cạnh huyền \(AC\) trong tam giác vuông \(ABC\), nên:

$MA=MB=MC$

Suy ra tam giác \(BMC\) cân tại \(M\).

Mặt khác, \(EF\parallel BH\). Tuy nhiên, với các dữ kiện hiện tại, chưa đủ để kết luận \(BM\perp EF\), vì điều đó tương đương với \(BM\perp BH\), không đúng trong tam giác đã cho.