a, ĐKXĐ : \(D=R\)

BPT \(\Leftrightarrow x^2+5x+4< 5\sqrt{x^2+5x+4+24}\)

Đặt \(x^2+5x+4=a\left(a\ge-\dfrac{9}{4}\right)\)

BPTTT : \(5\sqrt{a+24}>a\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a+24\ge0\\a< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a\ge0\\25\left(a+24\right)>a^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-24\le a< 0\\\left\{{}\begin{matrix}a^2-25a-600< 0\\a\ge0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-24\le a< 0\\0\le a< 40\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-24\le a< 40\)

- Thay lại a vào ta được : \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+5x-36< 0\\x^2+5x+28\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-9< x< 4\)

Vậy ....

b, ĐKXĐ : \(x>0\)

BĐT \(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)< x+\dfrac{1}{4x}+1\)

- Đặt \(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=a\left(a\ge\sqrt{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2=x+\dfrac{1}{4x}+1\)

BPTTT : \(2a\le a^2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a\le0\\a\ge2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a\ge2\)

\(\Leftrightarrow a^2\ge4\)

- Thay a vào lại BPT ta được : \(x+\dfrac{1}{4x}-3\ge0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-12x+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow x=(0;\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}]\cup[\dfrac{3+2\sqrt{2}}{2};+\infty)\)

Vậy ...

Do \(x^6-x^3+x^2-x+1=\left(x^3-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}>0\) ; \(\forall x\) nên BPT tương đương:

\(\sqrt{13}-\sqrt{2x^2-2x+5}-\sqrt{2x^2-4x+4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2-4x+10}+\sqrt{4x^2-8x+8}\le\sqrt{26}\) (1)

Ta có:

\(VT=\sqrt{\left(2x-1\right)^2+3^2}+\sqrt{\left(2-2x\right)^2+2^2}\ge\sqrt{\left(2x-1+2-2x\right)^2+\left(3+2\right)^2}=\sqrt{26}\) (2)

\(\Rightarrow\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\sqrt{4x^2-4x+10}+\sqrt{4x^2-8x+8}=\sqrt{26}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(2\left(2x-1\right)=3\left(2-2x\right)\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{5}\)

Vậy BPT có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{4}{5}\)

a: ĐKXĐ: 3<=x<=8

\(\sqrt{\left(x-3\right)\left(8-x\right)}+26>-x^2+11x\)

=>\(\sqrt{8x-x^2-24+3x}+26>-x^2+11x\)

=>\(\sqrt{-x^2+11x-24}>-x^2+11x-26\) (1)

Đặt \(a=\sqrt{-x^2+11x-24}\) (ĐIều kiện: a>=0)

=>\(a^2=-x^2+11x-24\)

=>\(a^2-2=-x^2+11x-24-2=-x^2+11x-26\)

(1) sẽ trở thành: \(a>a^2-2\)

=>\(a^2-2

=>\(a^2-a-2<0\)

=>(a-2)(a+1)<0

=>a-2<0

=>a<2

=>\(-x^2+11x-24<4\)

=>\(-x^2+11x-28<0\)

=>\(x^2-11x+28>0\)

=>(x-7)(x-4)>0

=>x>7 hoặc x<4

kết hợp ĐKXĐ, ta được: 3<=x<4 hoặc 7<x<=8

b: ĐKXĐ: x∈R

\(\left(x+1\right)\left(x+4\right)<5\cdot\sqrt{x^2+5x+28}\)

=>\(x^2+5x+4<5\cdot\sqrt{x^2+5x+28}\) (2)

Đặt \(a=\sqrt{x^2+5x+28}\) (Điều kiện: a>0)

=>\(a^2=x^2+5x+28\)

=>\(a^2-24=x^2+5x+4\)

(2) sẽ trở thành: \(a^2-24<5a\)

=>\(a^2-5a-24<0\)

=>(a-8)(a+3)<0

=>a-8<0

=>a<8

=>\(x^2+5x+28<64\)

=>\(x^2+5x-36<0\)

=>(x+9)(x-4)<0

=>-9<x<4

Có lẽ đây là 1 đề bài ko chính xác

- Với \(\left[{}\begin{matrix}x\le-1\\x\ge4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VP>0\\VT\le0\end{matrix}\right.\) BPT luôn đúng

- Với \(-1< x< 4\)

\(VT\le\dfrac{1}{4}\left(x+1+4-x\right)^2=\dfrac{25}{4}\)

\(VP=5\sqrt{\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{87}{4}}\ge5.\sqrt{\dfrac{87}{4}}>\dfrac{25}{4}>VT\)

Vậy BPT luôn đúng hay tập nghiệm của BPT đã cho là R