Câu 1: \(x^4-8x^2-9=0\)

=>\(x^4-9x^2+x^2-9=0\)

=>\(\left(x^2-9\right)\left(x^2+1\right)=0\)

=>\(x^2-9=0\)

=>\(x^2=9\)

=>x=3 hoặc x=-3

=>Tập nghiệm là S={3;-3}

Lời giải:

Theo định lý Viet:

$x_1+x_2=3$

$x_1x_2=-7$

Khi đó:
$A=\frac{1}{x_1-1}+\frac{1}{x_2-1}=\frac{x_2-1+x_1-1}{(x_1-1)(x_2-1)}$

$=\frac{(x_1+x_2)-2}{x_1x_2-(x_1+x_2)+1}=\frac{3-2}{-7-3+1}=\frac{-1}{9}$

$E=x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2)^2-2(x_1x_2)^2=[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]^2-2(x_1x_2)^2$
$=[3^2-2(-7)]^2-2(-7)^2=431$

\(3x^2+4x+1=3x^2+3x+x+1=\left(x+1\right)\left(3x+1\right)\)

Ta có x⁴ + x² + 1 = y²

Lại có x⁴ + 2x² + 1 ≥ x⁴ + x² + 1 hay (x² + 1)² ≥ x⁴ + x² + 1

=> (x² + 1)² ≥ y² (1)

Lại có x⁴ + x² + 1 > x⁴ => y² > x⁴ (2)

Từ (1) và (2), ta có x⁴ < y² ≤ (x² + 1)²

<=> y² = (x² + 1)² = x⁴ + 2x² + 1

Mà x⁴ + x² + 1 = y² => x⁴ + 2x² + 1 = x⁴ + x² + 1

<=> x² = 0 <=> x = 0

Thay vào, ta có 1 = y² <=> y ∈ {-1,1}

Vậy ...

1: Đặt S=x+y; P=xy

\(3\left(x^2-xy+y^2\right)=7\left(x+y\right)\)

=>\(3(S^2-3P)=7S\)

=>\(9P=3S^2-7S\)

=>\(P = \frac{3S^2 - 7S}{9}\)

x,y là các số nguyên

=>\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

=>\(S^2\ge4P\)

=>\(S^2-4P\ge0\)

=>\(S^2-4\cdot\frac{3S^2 - 7S}{9}\ge0\)

=>\(9S^2-12S^2+28S\ge0\)

=>\(-3S^2+28S\ge0\)

=>0<=S<=28/3

S∈Z; 9P=S(3S-7)

=>S⋮9

=>S=0 hoặc S=9

TH1: S=0

\(P=\frac{3\cdot0^2-7\cdot0}{9}=0\)

Do đó, ta có: x+y=0 và xy=0

=>x=y=0

TH2: S=9

=>\(P=\frac{3\cdot9^2-7\cdot9}{9}=\frac{3\cdot81-63}{9}=\frac{9\cdot\left(3\cdot9-7\right)}{9}=20\)

Do đó: x+y=9 và xy=20

=>(x;y)∈{(4;5);(5;4)}

1.

Đặt \(x^2-2x+m=t\), phương trình trở thành \(t^2-2t+m=x\)

Ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x+m=t\\t^2-2t+m=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-t\right)\left(x+t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=t\\x=1-t\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=x^2-2x+m\\x=1-x^2+2x-m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-x^2+3x\\m=-x^2+x+1\end{matrix}\right.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(y=-x^2+x+1\) và \(y=-x^2+3x\):

\(-x^2+x+1=-x^2+3x\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{5}{4}\)

Đồ thị hàm số \(y=-x^2+3x\) và \(y=-x^2+x+1\): 

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(m< \dfrac{5}{4}\)

Mà \(m\in\left[-10;10\right]\Rightarrow m\in[-10;\dfrac{5}{4})\)

PT <=> \(\left(y+2\right)x^2=y^2-1\)

- Nếu y = -2 <=> \(\left(-2\right)^2-1=0\) (vô lí)

=> \(y\ne-2\)

PT <=> \(x^2=\dfrac{y^2-1}{y+2}\)

Có \(x\in Z\Rightarrow x^2\in Z\)

=> \(\dfrac{y^2-1}{y+2}\in Z\)

=> \(y^2-1⋮y+2\)

=> \(y\left(y+2\right)-2\left(y+2\right)+3⋮y+2\)

=> \(3⋮y+2\)

Ta có bảng

KL: Vậy phương trình có tập nghiệm\(\left(x;y\right)=\left\{\left(0;1\right);\left(0;-1\right)\right\}\)