a/ Biến đổi tương đương:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh

b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)

\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)

\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)

\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)

Ta có: \(VT=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ca}+\frac{c^2}{ca+cb}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Mà \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)

\(\RightarrowĐPCM\)

Đặt \(f\left(a,b,c\right)=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)và \(t=\frac{a+b}{2}\)

Khi đó thì \(f\left(t,t,c\right)=\frac{t}{t+c}+\frac{t}{t+c}+\frac{c}{2t}=\frac{2t}{t+c}+\frac{c}{2t}\)

Ta có: \(f\left(a,b,c\right)=\frac{\left(a^2+b^2\right)+c\left(a+b\right)}{c^2+ab+c\left(a+b\right)}+\frac{c}{a+b}\)\(=\frac{4\left(a^2+b^2\right)+4c\left(a+b\right)}{4c^2+4ab+4c\left(a+b\right)}+\frac{c}{a+b}\)

\(\ge\frac{2\left(a+b\right)^2+4c\left(a+b\right)}{4c^2+\left(a+b\right)^2+4c\left(a+b\right)}+\frac{c}{a+b}\)\(=\frac{8t^2+8tc}{4c^2+4t^2+8tc}+\frac{c}{2t}\)

\(=\frac{2t^2+2tc}{c^2+t^2+2tc}+\frac{c}{2t}=\frac{2t\left(t+c\right)}{\left(t+c\right)^2}+\frac{c}{2t}\)\(=\frac{2t}{t+c}+\frac{c}{2t}=f\left(t,t,c\right)\)

Do đó \(f\left(a,b,c\right)\ge f\left(t,t,c\right)\)

Ta cần chứng minh: \(f\left(t,t,c\right)=\frac{2t}{t+c}+\frac{c}{2t}\ge\frac{3}{2}\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(t-c\right)^2}{2t\left(t+c\right)}\ge0\)(đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Cauchy Schwarz dạng Engel là nhanh nhất !

Ta có: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

\(=\frac{a^2}{ab+ca}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ca+bc}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c

Cách khác:

Ta có: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

\(=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{a}{b+c}+1\right)-3\)

\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)

\(\ge\left(a+b+c\right)\cdot\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}-3\)

\(=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c

Bài 1:

Cho a,b,c,d là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán

Bài 2:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1+1+1\right)\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\)

Cần chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=3\) (đúng)

Khi a=b=c

Thanks

Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)

Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)

Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.

Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.

Bài 3: Nó sao sao ấy ta?

Với a,b,c > 0 ta có :
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{a}{\frac{a+\left(b+c\right)}{2}}=\frac{2a}{a+b+c}\)( Áp dụng \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\) )

Tương tự ta cũng có :

\(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c};\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)

Cộng 3 bất đẳng thức trên vế với vế , ta được :
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Dấu " = " xay ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{matrix}\right.\), vô nghiệm vì a,b,c >0

Do đó : \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\left(1\right)\)

Lại có :

\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng lại ta được :

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2 ) \(\Rightarrowđpcm\)

Chúc bạn học tốt !!