Ta có

Kẻ AH ⊥ BC => H là trung điểm cạnh BC (vì tam giác ABC vuông cân tại A)

Khi đó AH là đường trung tuyến nên AH = B C 2  (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Xét tam giác vuông CNP có C ^ = 45⁰ (do tam giác ABC vuông cân) nên tam giác CNP vuông cân tại P

Suy ra CP =PN = 22cm

Tương tự ta có ΔQMB vuông cân tại Q => QM = QB = 22cm

Từ đó BC = PC + PQ + QB = 22 + 22 + 22 = 66cm

Mà AH =  B C 2 (cmt) => AH = 66 2  = 33cm

Từ đó S_ABC = 1 2 AH.BC =  1 2 .33.66 = 1089 cm²

Đáp án cần chọn là: A

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = 2 \Rightarrow AC = 2\sqrt2$.

Các cạnh bên:

$SA = SB = SC = 2$.

Xét tam giác $ABC$:

$AB^2 + BC^2 = 4 + 4 = 8 = AC^2$ nên vuông tại $B$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(2,0,0),\ C(0,2,0)$.

Gọi $S(x,y,z)$ thỏa:

$SA^2 = SB^2 = SC^2 = 4$.

Từ $SB^2 = 4 \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 4$.

Từ $SA^2 = 4 \Rightarrow (x-2)^2 + y^2 + z^2 = 4 \Rightarrow x = 1$.

Từ $SC^2 = 4 \Rightarrow x^2 + (y-2)^2 + z^2 = 4 \Rightarrow y = 1$.

Thay vào: $1 + 1 + z^2 = 4 \Rightarrow z^2 = 2 \Rightarrow z = \sqrt2$.

Suy ra $S(1,1,\sqrt2)$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $OS$ với $O(0,0,0)$:

$I\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$.

Bán kính:

$R = IA = \sqrt{\left(2 - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(0 - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(0 - \dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi (\sqrt3)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3\sqrt3 = 4\pi\sqrt3$.

Vậy $V = 4\pi\sqrt3$.

Chọn C

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = 2 \Rightarrow AC = 2\sqrt2$.

Các cạnh bên: $SA = SB = SC = 2$.

Đặt hệ trục tọa độ: $B(0,0,0),\ A(2,0,0),\ C(0,2,0)$.

Gọi $S(x,y,z)$ thỏa:

$SB^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 4$.

Từ $SA^2 = 4 \Rightarrow (x-2)^2 + y^2 + z^2 = 4 \Rightarrow x = 1$.

Từ $SC^2 = 4 \Rightarrow x^2 + (y-2)^2 + z^2 = 4 \Rightarrow y = 1$.

Thay vào: $1 + 1 + z^2 = 4 \Rightarrow z^2 = 2 \Rightarrow z = \sqrt2$.

Suy ra $S(1,1,\sqrt2)$.

Do $SA = SB = SC = 2$ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là điểm $S$ đối xứng với $B$ qua tâm $I$, suy ra:

$I\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$.

Bán kính:

$R = IB = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}} = 1$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi$.

Vậy $V = \dfrac{4\pi}{3}$.

Chọn đáp án B.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = 2 \Rightarrow AC = 2\sqrt2$.

Các cạnh bên: $SA = SB = SC = 2$.

Ta có: $AB^2 + BC^2 = 4 + 4 = 8 = AC^2$ nên $\triangle ABC$ vuông tại $B$.

Mặt khác: $SA = SB = SC = 2$ nên điểm $S$ cách đều $A,B,C$.

Suy ra $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm $O$ của $AC$.

Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$.

Ta có: $AC = 2\sqrt2 \Rightarrow OA = OB = OC = \dfrac{AC}{2} = \sqrt2$.

Xét tam giác vuông $SAO$:

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

$4 = SO^2 + 2 \Rightarrow SO^2 = 2 \Rightarrow SO = \sqrt2$.

Suy ra: $R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{2\sqrt2}{8} = \dfrac{\sqrt2\pi}{3}$.

Vậy $V = \dfrac{\sqrt2\pi}{3}$.

Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với AD và AC

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AE = AF

BE = BD

CD = CF

BD = BC + CD

BE = AB – AE

Suy ra: BD + BE = AB + BC – (AE + CD)

= AB + BC – (AE + CE)

= AB + BC – AC

Suy ra: BD = (AB + BC - AC)/2

Lại có: CD = BC – BD

CF = AC = AF

Suy ra: CD + CF = BC + AC – (BD + AF)

= BC + AC – (BE + AE)

= BC + AC – BA

Vậy S A B C  = BD.DC.

Đáp án là A

Ta có : 

( Do SAB là tam giác vuông cân tại S cạnh huyền AB=2a)

Diện tích tam giác ABC là 

Vậy thể tích khối chóp SABC là: 

1)

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$.

Vì $(SAC) \perp (ABC)$ nên $H \in AC$.

a) Góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu $HC$:

$\tan \alpha = \dfrac{SH}{HC}$.

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, $H \in AC$ nên đặt $HC = x$.

Vì tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $SH \perp AC$ tại trung điểm $\Rightarrow H$ là trung điểm $AC$.

Suy ra $HC = \dfrac{a}{2}$.

Xét góc giữa $SB$ và đáy:

$\tan 30^\circ = \dfrac{SH}{BH} = \dfrac{1}{\sqrt3}$.

Trong tam giác đều:

$BH = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

=> $\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{SH}{\dfrac{\sqrt3}{2}a} \Rightarrow SH = \dfrac{a}{2}$.

Do đó: $\tan \alpha = \dfrac{SH}{HC} = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a}{2}} = 1 \Rightarrow \alpha = 45^\circ$.

b) Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$, khi đó góc giữa hai mặt phẳng là:

$\tan \beta = \dfrac{SH}{HM}$.

Trong tam giác đều:

$HM = \dfrac{\sqrt3}{2}a \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{4}$.

=> $\tan \beta = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt3}{4}} = \dfrac{2}{\sqrt3} \Rightarrow \beta = \arctan \dfrac{2}{\sqrt3}$.

2)

Vì $(SAB) \perp (ABC)$ và tam giác $SAB$ vuông tại $S$ nên:

$SA \perp SB$, đồng thời $SA \perp (ABC)$.

=> $SA$ là chiều cao.

a) Góc giữa $SC$ và $(ABC)$:

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ thì $H \equiv A$.

Do đó: $\tan \alpha = \dfrac{SA}{AC}$.

Vì tam giác đều: $AC = a$.

=> $\tan \alpha = \dfrac{a\sqrt3}{a} = \sqrt3 \Rightarrow \alpha = 60^\circ$.

b) Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$, ta có:

$\tan \beta = \dfrac{SA}{AM}$.

Trong tam giác đều:

$AM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

=> $\tan \beta = \dfrac{a\sqrt3}{\dfrac{\sqrt3}{2}a} = 2 \Rightarrow \beta = \arctan 2$.