Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AH và CD.
Chứng minh\(S_{BDH}=S_{BCA}.cos^2B\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
5 tháng 10
a: Xét ΔALC vuông tại L và ΔAKB vuông tại K có
\(\hat{LAC}\) chung
Do đó: ΔALC~ΔAKB
=>\(\frac{AL}{AK}=\frac{AC}{AB}\)
=>\(\frac{AL}{AC}=\frac{AK}{AB}\)
Xét ΔAKB vuông tại K có cos BAC=\(\frac{AK}{AB}\)
Xét ΔBLC vuông tại L và ΔBHA vuông tại H có
\(\hat{LBC}\) chung
Do đó: ΔBLC~ΔBHA
=>\(\frac{BL}{BH}=\frac{BC}{BA}\)
=>\(\frac{BL}{BC}=\frac{BH}{BA}\)
Xét ΔBLC vuông tại L có cos LBC=\(\frac{BL}{BC}\)
Xét ΔCKB vuông tại K và ΔCHA vuông tại H có
\(\hat{KCB}\) chung
Do đó: ΔCKB~ΔCHA
=>\(\frac{CK}{CH}=\frac{CB}{CA}\)
=>\(\frac{CK}{CB}=\frac{CH}{CA}\)
Xét ΔAHC vuông tại H có cos ACH=\(\frac{CH}{CA}\)
Xét ΔALK và ΔACB có
\(\frac{AL}{AC}=\frac{AK}{AB}\)
góc CAB chung
Do đó: ΔALK~ΔACB
=>\(\frac{S_{ALK}}{S_{ACB}}=\left(\frac{AL}{AC}\right)^2=\frac{AL}{AC}\cdot\frac{AK}{AB}=cos^2BAC\)
b: Xét ΔBLH và ΔBCA có
\(\frac{BL}{BC}=\frac{BH}{BA}\)
góc LBH chung
Do đó: ΔBLH~ΔBCA
=>\(\frac{S_{BLH}}{S_{BCA}}=\left(\frac{BL}{BC}\right)^2=cos^2ABC\)
Xét ΔCKH và ΔCBA có
\(\frac{CK}{CB}=\frac{CH}{CA}\)
góc KCH chung
Do đó: ΔCKH~ΔCBA
=>\(\frac{S_{CKH}}{S_{CBA}}=\left(\frac{CK}{CB}\right)^2=cos^2C\)
\(S_{ALK}+S_{BLH}+S_{CKH}+S_{LKH}=S_{ABC}\)
=>\(\frac{S_{ALK}}{S_{ABC}}+\frac{S_{BLH}}{S_{BAC}}+\frac{S_{CKH}}{S_{BAC}}+\frac{S_{LHK}}{S_{ABC}}=1\)
=>\(\frac{S_{LHK}}{S_{BAC}}=1-cos^2BAC-cos^2ABC-cos^2ACB\)
ML
9 tháng 8 2015
\(\Leftrightarrow\frac{S_{HIK}}{S_{ABC}}=1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C\)
-Ta có: tam giác AIB vuông tại I \(\Rightarrow\cos A=\frac{AI}{AB}\)
Tam giác ACK vuông tại K \(\Rightarrow\cos A=\frac{AK}{AC}\)
\(\Rightarrow\cos^2A=\frac{AI}{AB}.\frac{AK}{AC}=\frac{\frac{1}{2}AI.AK}{\frac{1}{2}AB.AC}=\frac{\frac{1}{2}AI.AK.\cos A}{\frac{1}{2}AB.AC.\cos A}=\frac{S_{AKI}}{S_{ABC}}\)
Tương tự: \(\cos^2B=\frac{S_{BHK}}{S_{ABC}};\text{ }\cos^2C=\frac{S_{CIH}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C=\frac{S_{ABC}-S_{AKI}-S_{BHK}-S_{CIH}}{S_{ABC}}=\frac{S_{HIK}}{S_{ABC}}\text{ (đpcm)}\)
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
6 tháng 7 2016
a. Ta có : \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABE}}=\frac{AF}{AB};\frac{S_{AEB}}{S_{ABC}}=\frac{AE}{AC}\)
Như vậy \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{AF}{AB}.\frac{AE}{AC}=\frac{AE}{AB}.\frac{AF}{AC}=cosA.cosA=cos^2A.\)
Từ đó ta có : \(S_{AEF}=S_{ABC}.cos^2A\)
b. Tương tự phần a ta có : \(S_{BEF}=S_{ABC}.cos^2B\); \(S_{CEF}=S_{ABC}.cos^2C\)
Như vậy \(S_{DEF}=S_{ABC}-S_{AEF}-S_{BEF}-S_{CEF}\)
Từ đó ta có: \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=1-\left(cos^2A+cos^2B+cos^2C\right)\)
Chúc em học tốt :)))
7 tháng 8 2018
A B C H I K
a)
Ta có:
Tam giác AKC vuông tại K \(\Rightarrow sinA=\frac{KC}{AC}\)
\(VT=S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.CK=\frac{1}{2}.AB.\left(AC.\frac{KC}{AC}\right)=\frac{1}{2}.AB.AC.sinA=VP\)(đpcm)
b)
\(\left(1-cos^2A-cos^2B-cos^2C\right).S_{ABC}\)
\(=\left(1-\frac{KC^2}{AC^2}-\frac{BI^2}{AB^2}-\frac{AH^2}{BC^2}\right).S_{ABC}\)
\(=\left[\left(1-\frac{AH^2}{BC^2}\right)-\left(\frac{KC^2}{AC^2}+\frac{BI^2}{AB^2}\right)\right].S_{ABC}\)
\(=\left(\left(1-\frac{AH^2}{BC^2}\right)-\frac{AB^2.KC^2-AC^2.BI^2}{AB^2.AC^2}\right).S_{ABC}\)
\(=\left(\left(1-\frac{AH^2}{BC^2}\right)-\frac{S^2_{ABC}-S^2_{ABC}}{AB^2.AC^2}\right).S_{ABC}\)
\(=\left(1-\frac{AH^2}{BC^2}\right).S_{ABC}=S_{ABC}-\frac{AH^2}{BC^2}.S_{ABC}\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
30 tháng 10 2022
a:
Xét tứ giác BLKC có góc BLC=góc BKC=90 độ
nên BLKC là tứ giác nội tiếp
=>góc ALK=góc ACB
=>ΔALK đồng dạng với ΔACB
=>AL/AC=AK/AB=LK/BC
\(\left(\dfrac{AK}{AB}\right)^2=\dfrac{AK}{AB}\cdot\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AL}{AC}\cdot\dfrac{BK}{BC}\)
b: \(\dfrac{S_{AKL}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AK}{AB}\right)^2=\dfrac{AL\cdot BK}{AC\cdot BC}\)