Cho đường tròn (O; R). Dây BC < 2R cố định và A thuộc cung lớn BC (A khác B, C và không trùng điểm chính giữa của cung). Gọi H là hình chiếu của A trên BC; E, F thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường kính AA’.a. Chứng minh: HE vuông góc vớiAC.b. Chứng minh: ∆HEF ~ ∆ABC.c. Khi A di chuyển, chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HEF cố...
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O; R). Dây BC < 2R cố định và A thuộc cung lớn BC (A khác B, C và không trùng điểm chính giữa của cung). Gọi H là hình chiếu của A trên BC; E, F thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường kính AA’.
a. Chứng minh: HE vuông góc vớiAC.
b. Chứng minh: ∆HEF ~ ∆ABC.
c. Khi A di chuyển, chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HEF cố định.
A B C H A' O E F S G K
a) Xét tứ giác: ABHE: ^BEA=^AHB (=900) => Tứ giác ABHE nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Do ^EHC là góc ngoài tại đỉnh H của tứ giác ABHE nên ^EHC=^BAE hay ^EHC=^BAA'
Dễ thấy: ^BAA'=^BCA' => ^EHC=^BCA'.
Mà 2 góc trên nằm ở vị trí so le trg nên HE // CA' (1)
Xét đường tròn (O) đường kính AA' có điểm C nằm trên cung AA'
=> CA' vuông góc với AC (2)
Từ (1) và (2) => HE vuông góc AC (Quan hệ song song, vg góc) (đpcm).
b) Ta có: Tứ giác ABHE nội tiếp đường tròn và có ^HEF là góc ngoài tại đỉnh E
=> ^HEF=^ABH hay ^HEF=^ABC.
Lập luận tương tự câu a, ta cũng có tứ giác AHFC nội tiếp đường tròn đường kính AC.
=> ^HFA=^HCA hay ^HFE=^BCA.
Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)HEF: ^HEF=^ABC; ^HFE=^BCA => \(\Delta\)HEF ~ \(\Delta\)ABC (g.g) (đpcm).
c) Ta gọi S là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)HEF.
Lấy giao điểm giữa (S) với 2 đoạn BE và BC lần lượt là K và G.
Do tứ giác ABHE nội tiếp đường tròn nên ^HBE=^HAE hay ^HBK=^HAF
Ta thấy tứ giác HKEF nội tiếp (S)
=> ^HFE=^BKH (Do ^BKH là góc ngoài đỉnh K) => ^BKH=^AFH.
Xét \(\Delta\)BHK và \(\Delta\)AHF: ^HBK=^HAF; ^BKH=^AFH => \(\Delta\)BHK ~ \(\Delta\)AHF (g.g)
=> \(\frac{BH}{AH}=\frac{HK}{HF}\)(*)
Ngoài ra: ^BHK=^AHF => 900 + ^AHK = ^AHK + ^KHF => ^KHF=900
Lại có: ^BKH=^AFH. Mà ^AFH = ^ACH (Do tứ giác AHFC nội tiếp đg tròn)
=> ^BKH=^ACH (3)
Xét \(\Delta\)AHC vuông tại H: HE vuông góc AC => ^ACH=^AHE (Phụ ^HAC) (4)
Từ (3) và (4) => ^BKH=^AHE. Mà tứ giác ABHE nội tiếp đg tròn => ^AHE=^ABE
=> ^BKH=^ABE. Hai góc này so le trg nên HK // AB => ^AHK=^BAH.
Mà ^AHK=^GHF (Cùng phụ ^KHG) và ^GHF=^GEF (Chắn cung GF)
=> ^BAH=^GEF. Mặt khác ^BAH=^BEH (Cùng chắn cung BH) => ^GEF=^BEH.
Lại thấy: ^BEH+^HEF=900 = >^GEF+^HEF=900 => ^HEG=900
Xét tứ giác HEGF nội tiếp (S) có ^HEG=900 => ^HFG=900
Xét tứ giác KHFG nội tiếp (S) có ^HFG=900 => ^HKG=900. Mà ^KHF=900 (cmt)
=> ^HFG=^HKG=^KHF=900 => Tứ giác HKFG là hình chữ nhật. => HK=GF (**)
Xét \(\Delta\)CGF và \(\Delta\)AHF: ^GCF=^HAF (Cung chắn cung HF); ^HFA=^GFC (Cùng phụ ^AFG)
=> \(\Delta\)CGF ~ \(\Delta\)AHF => \(\frac{CG}{AH}=\frac{GF}{HF}\)(***)
Từ (*); (**) và (***) => \(\frac{BH}{AH}=\frac{CG}{AH}\Rightarrow BH=CG\).
Ta thấy: Đường tròn (S): ^HKG =900 và 3 điểm H;K;G nằm trên (S)
HG là đường kính của (S) => H;S;G là 3 điểm thẳng hàng.
Vì H và G đều nằm trên BC => B;H;S và H;G;C thẳng hàng
Có: BH=CG (cmt); SH=SG (Bán kính của (S)) => BH+HS=CG+SG
=> BS=CS. Mạt khác 3 điểm B;C;S thẳng hàng => S là trung điểm BC.
Mà BC là dây cung cố định của (O) nên S cố định.
Hay tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)HEF là 1 điểm cố định (đpcm).