cho hình vuông ABCD . gọi M là điiểm nằm trong hình vuông ABCD . CMR \(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2\ge2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 12 2020
Lời giải:
Qua $M$ kẻ $EF\perp AB, CD$ với $E\in AB, F\in DC$
Dễ thấy $AEFD$ và $EBCF$ là hình chữ nhật do có 4 góc vuông.
Do đó $AE=DF; EB=CF; EF=AD=BC$
Áp dụng định lý Pitago ta có:
\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=AE^2+EM^2+EB^2+EM^2+CF^2+MF^2+DF^2+MF^2\)
\(=(AE^2+DF^2)+(EB^2+CF^2)+2EM^2+2FM^2\)
\(=2AE^2+2BE^2+2EM^2+2MF^2=2[(AE^2+BE^2)+(EM^2+MF^2)]\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=2(AE^2+BE^2)+2(EM^2+MF^2)\geq (AE+BE)^2+(MF+EM)^2\)
\(=AB^2+EF^2=AB^2+AD^2=2\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $M$ là tâm hình vuông.
TN
0
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
14 tháng 10
ABCD là hình vuông có tâm O
=>AC⊥BD tại O và AC=BD; O là trung điểm chung của AC và BD
ABCD là hình vuông cạnh a
=>AB=BC=CD=DA=a
ABCD là hình vuông
=>\(AC^2=AB^2+BC^2=2a^2\)
=>\(AC=a\sqrt2\)
AC=BD
=>\(BD=AC=a\sqrt2\)
O là trung điểm của AC
=>\(OA=OC=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}\)
O là trung điểm của BD
=>\(OB=OD=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}\)
\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)\)
\(=MO^2+\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}\)
\(=MO^2+\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)+\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}\)
\(=MO^2+\overrightarrow{MO}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)\)
\(\vec{MC}\cdot\vec{MD}=(\vec{MO}+\vec{OC})\cdot(\vec{MO}+\vec{OD})\)
\(=MO^2+\vec{MO}(\vec{OC}+\vec{OD})+\vec{OC}\cdot\vec{OD}\)
\(=MO^2+\overrightarrow{MO}\cdot\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)\)
Do đó: \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} + \vec{MC} \cdot \vec{MD} = 2MO^2 + \vec{MO} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}) + (\vec{OA} \cdot \vec{OB} + \vec{OC} \cdot \vec{OD})\)
=>\(\vec{MA} \cdot \vec{MB} + \vec{MC} \cdot \vec{MD} = 2MO^2\)
=>\(2\cdot MO^2=5a^2\)
=>\(MO^2=\frac{5a^2}{2}=\frac{10a^2}{4}\)
=>\(MO=\frac{a\sqrt{10}}{2}\)
=>Tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đường tròn có tâm là tâm O của hình vuông ABCD và có bán kính \(R = \frac{a\sqrt{10}}{2}\)