Xét hàm số \(f(t) = t^2(t^2+1) = t^4 + t^2\) với t>=0

t>=0

=>f(t) đồng biến trên khoảng [0;2]

x<=2

=>\(f(x)\le f(2)=2^2(2^2+1)=20\)

y<=2

=>\(f\left(y\right)\le f\left(2\right)=20\)

Do đó: \(P = f(x) + f(y) \le 20 + 20 = 40\)

Dấu '=' xảy ra khi x=2 và y=2

Answer:

3.

\(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+7x+7y+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+7.\left(x+y\right)+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+4y^2+40=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+49+4y^2-9=0\)

\(\Rightarrow\left(2S+7\right)^2=9-4y^2\le9\left(1\right)\)

\(\Rightarrow-3\le2S+7\le3\)

\(\Rightarrow-10\le2S\le-4\)

\(\Rightarrow-5\le S\le-2\left(2\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi: \(\left(1\right)\Rightarrow y=0\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S=x+y=-5\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(S=x+y=-2\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-2\end{cases}}\)

\(\left(x+y\right)^2+6\left(x+y\right)+9+y^2-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)^2+y^2-3=0\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)^2=3-y^2\le3\)

\(\Rightarrow\left(x+y+3\right)^2\le3\Rightarrow-\sqrt{3}\le x+y+3\le\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow-3-\sqrt{3}\le x+y\le-3+\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S_{max}=-3+\sqrt{3}\\S_{min}=-3-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)