A=1/2+3/4+5/6+........+199/200
chung to rang A^2<1/200
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
3
19 tháng 3 2016
3)
C= (1/2).(3/4).(5/6).....(199/200).
C= (1.3.5….199)/(2.4.6…200)
C²= 1².3².5²….199²/(2².4².6²…200²)
Ta có: k²>k²-1=(k-1)(k+1) nên 2²>1.3; 4²>3.5 … 200²>199.201.
=>
C² < 1².3².5²….199²/[(1.3).(3.5).(5.7)…(199.2...
=1².3².5²….199²/(1.3.3.5.5.7…199.201)
=1².3².5²….199²/(1.3².5².7²…199².201)
=1/201
RT
0
DH
0
VT
0
NM
0
11 tháng 7
Bài toán yêu cầu chứng minh rằng với \(A = \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \dots \frac{200}{199}\), ta có \(14 < A < 20\).Dưới đây là lời giải chi tiết:1. Chứng minh \(A < 20\)Xét biểu thức \(A^{2}\):
\(A^{2}=\left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\dots \frac{200}{199}\right)\cdot \left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\dots \frac{200}{199}\right)\)Ta có nhận xét với mọi \(n > 1\) thì \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\). Áp dụng điều này:
Dễ thấy \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}\), \(\frac{4}{3} > \frac{5}{4}, \dots, \frac{200}{199} > \frac{201}{200}\).
Do đó \(A > B\). Tuy nhiên, cách này dùng để chặn dưới.Để chặn trên, ta xét \(C = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \dots \frac{199}{198} \cdot 2\). Ta có \(A < C\).
Cách phổ biến và chính xác nhất cho dạng này là bình phương và so sánh với một dãy tương ứng:
Ta có \(\frac{n}{n-1} < \sqrt{\frac{n+1}{n-1}}\) (vì \(\frac{n^2}{(n-1)^2} < \frac{n+1}{n-1} \Leftrightarrow n^2 < (n+1)(n-1) = n^2-1\), vô lý).Cách tiếp cận hiệu quả hơn:
Xét \(A^2 = \frac{2^2}{1^2} \cdot \frac{4^2}{3^2} \cdot \frac{6^2}{5^2} \dots \frac{200^2}{199^2}\).
Ta có \(\frac{n^2}{(n-1)^2} < \frac{n^2}{n^2-n} = \frac{n}{n-1}\) (không giúp ích).
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) là sai chiều.Thực tế, với \(n \ge 2\): \(\frac{n}{n-1} < \frac{n-1}{n-2}\) cũng sai.
Ta sử dụng: \(\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \dots \frac{200}{199}\).
Đặt \(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{199}{200}\). Khi đó \(A = \frac{1}{S}\).
Ta biết \(\frac{1}{2\sqrt{n}} < S < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\).
Với \(n=100\): \(S < \frac{1}{\sqrt{201}} \approx \frac{1}{14.17} \Rightarrow A > 14.17 > 14\).
Và \(S > \frac{1}{2\sqrt{100}} = \frac{1}{20} \Rightarrow A < 20\).2. Tổng kết
\(A^{2}=\left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\dots \frac{200}{199}\right)\cdot \left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\dots \frac{200}{199}\right)\)Ta có nhận xét với mọi \(n > 1\) thì \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\). Áp dụng điều này:
- \(\frac{2}{1} < \frac{3}{2}\) (không áp dụng được vì làm \(A^{2}\) nhỏ đi, ta cần tìm chặn trên).
- Thay vào đó, ta sử dụng: \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) cho các thừa số của biểu thức thứ hai nhưng lùi lại một nhịp.
Dễ thấy \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}\), \(\frac{4}{3} > \frac{5}{4}, \dots, \frac{200}{199} > \frac{201}{200}\).
Do đó \(A > B\). Tuy nhiên, cách này dùng để chặn dưới.Để chặn trên, ta xét \(C = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \dots \frac{199}{198} \cdot 2\). Ta có \(A < C\).
Cách phổ biến và chính xác nhất cho dạng này là bình phương và so sánh với một dãy tương ứng:
Ta có \(\frac{n}{n-1} < \sqrt{\frac{n+1}{n-1}}\) (vì \(\frac{n^2}{(n-1)^2} < \frac{n+1}{n-1} \Leftrightarrow n^2 < (n+1)(n-1) = n^2-1\), vô lý).Cách tiếp cận hiệu quả hơn:
Xét \(A^2 = \frac{2^2}{1^2} \cdot \frac{4^2}{3^2} \cdot \frac{6^2}{5^2} \dots \frac{200^2}{199^2}\).
Ta có \(\frac{n^2}{(n-1)^2} < \frac{n^2}{n^2-n} = \frac{n}{n-1}\) (không giúp ích).
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) là sai chiều.Thực tế, với \(n \ge 2\): \(\frac{n}{n-1} < \frac{n-1}{n-2}\) cũng sai.
Ta sử dụng: \(\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \dots \frac{200}{199}\).
Đặt \(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{199}{200}\). Khi đó \(A = \frac{1}{S}\).
Ta biết \(\frac{1}{2\sqrt{n}} < S < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\).
Với \(n=100\): \(S < \frac{1}{\sqrt{201}} \approx \frac{1}{14.17} \Rightarrow A > 14.17 > 14\).
Và \(S > \frac{1}{2\sqrt{100}} = \frac{1}{20} \Rightarrow A < 20\).2. Tổng kết
- Chặn trên:
Vì \(\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \dots \frac{200}{199} < 20\) tương đương với \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \dots \frac{199}{200} > \frac{1}{20}\).
Điều này luôn đúng vì \(\frac{n-1}{n} > \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n+1} \dots\) (Sử dụng \(S > \frac{1}{2\sqrt{n}}\)). Với \(n=100\), \(S > \frac{1}{20}\) là hiển nhiên. - Chặn dưới:
Sử dụng \(S < \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\) hoặc đơn giản hơn là so sánh \(A\) với dãy lệch một đơn vị để thấy \(A^2 > 200\).
\(A^2 = \frac{2^2}{1 \cdot 1} \cdot \frac{4^2}{3 \cdot 3} \dots \frac{200^2}{199 \cdot 199} > \frac{2^2}{1 \cdot 3} \cdot \frac{4^2}{3 \cdot 5} \dots \frac{200^2}{199 \cdot 201} \cdot 201\)
\(A^2 > 201 \Rightarrow A > \sqrt{201} \approx 14.17\).
R
0