a: Xét (O) có

\(\widehat{ABM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BM

\(\widehat{BNM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

Do đó: \(\widehat{ABM}=\widehat{BNM}\)

Xét ΔABM và ΔANB có

\(\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\)

\(\widehat{BAM}\) chung

Do đó: ΔABM~ΔANB

=>\(\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}\)

=>\(AM\cdot AN=AB^2\)

b: ΔABM~ΔANB

=>\(\dfrac{BM}{NB}=\dfrac{AB}{AN}\)

Xét (O) có

\(\widehat{NBE}\) là góc nội tiếp chắn cung NE

\(\widehat{MBE}\) là góc nội tiếp chắn cung ME

\(\widehat{NBE}=\widehat{MBE}\)(BE là phân giác của góc MBN)

Do đó: \(sđ\stackrel\frown{NE}=sđ\stackrel\frown{ME}\)

Xét (O) có \(\widehat{BIM}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung BM;EN

=>\(\widehat{BIM}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{BM}+sđ\stackrel\frown{NE}\right)=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{BM}+sđ\stackrel\frown{EM}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{BE}=\widehat{ABE}\)

Xét ΔAIB có \(\widehat{AIB}=\widehat{ABI}\)

nên ΔAIB cân tại A

=>AI=AB

Cho đường tròn \(\left(\right. O , R \left.\right)\), hai tiếp tuyến \(A B , A C\), cát tuyến \(A M N\). Tia phân giác \(B E\) của góc \(M B N\) cắt đường tròn tại \(E\) và \(I\) là giao điểm của \(A N\) và \(B E\). Chứng minh:

a) \(A M \cdot A N = A B^{2}\)

Xét tam giác \(A B M\) và \(A B N\):

• Vì \(A B\) là tiếp tuyến nên theo tính chất tiếp tuyến, ta có:
  \(\angle A B M = \angle A N M\)
  (góc giữa tiếp tuyến và cát tuyến bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó).
• Tương tự,
  \(\angle A B N = \angle A M N\)
• Xét hai tam giác \(\triangle A B M\) và \(\triangle A N M\), ta thấy chúng đồng dạng theo góc-góc (AA). Vậy ta có:
  \(\frac{A M}{A B} = \frac{A B}{A N}\)
• Nhân chéo hai vế:
  \(A M \cdot A N = A B^{2}\)
  Điều phải chứng minh.

b) \(\frac{B M}{B N} = \frac{A B}{A N}\) và \(A B = A I\)

• Vì \(B E\) là phân giác của góc \(\angle M B N\), theo định lý về đường phân giác trong tam giác, ta có:
  \(\frac{B M}{B N} = \frac{A B}{A N}\)
  Điều phải chứng minh.
• Tiếp theo, chứng minh \(A B = A I\):
  Điều phải chứng minh.
• • Xét hai tam giác \(\triangle A B I\) và \(\triangle A N B\):
  • • \(\angle A B I = \angle A N B\) (do \(I\) thuộc \(A N\)).
    • \(\angle A I B = \angle B A N\) (đối đỉnh).
    • Nên \(\triangle A B I sim \triangle A N B\) (g.g).
  • Suy ra: \(\frac{A B}{A I} = \frac{A N}{A B}\)
  • Nhân chéo: \(A B^{2} = A I \cdot A N\)
  • Mà theo câu a), ta có: \(A M \cdot A N = A B^{2}\)
  • Suy ra: \(A I = A B\)

c) \(C I\) là tia phân giác của \(\angle N C M\)

• Xét hai tam giác \(\triangle B C M\) và \(\triangle B A N\):
• • Ta có \(\triangle B A N sim \triangle B C M\) vì:
  • • \(\angle B A N = \angle B C M\) (do tính chất đối xứng qua đường phân giác).
    • \(\frac{A B}{A N} = \frac{B M}{B N}\) (chứng minh ở phần b).
  • Do đó, \(\triangle B C I sim \triangle N C M\) (g.g).
• Suy ra \(\frac{B I}{I C} = \frac{B N}{N M}\), tức là \(C I\) là tia phân giác của \(\angle N C M\).

Điều phải chứng minh.