Cho hai đường tròn (O;R)và (O'R') tiếp xúc ngoài tại A .vẽ tiếp tuyến chung MN.M thuộc đường tròn (O) và N thuộc đường tròn (O') tiếp tuyến chung tại A cắt MN tại I
chứng minh
a) Góc MAN=90o;Góc OIO'=90o
b)MN=2\(\sqrt{R.R'}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
3 tháng 4 2023
ΔKBO=ΔKCO
=>KB=KC
=>KO là trung trực của BC
ΔKCO đồng dạng với ΔCIO
=>OC/OI=OK/OC
=>OC^2=OI*OK
=>OI*OK=ON^2
=>OI/ON=ON/OK
=>ΔOIN đồng dạng với ΔONK
=>gócc ONI=góc OKN
Tương tự, ta có: OI/OM=OM/OK
=>ΔMKO đồng dạng với ΔIMO
=>góc MKO=góc IMO=góc INO
=>góc MKD=góc NKD
=>K,M,N thẳng hàng
=>K luôn thuộc MN
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
11 tháng 5 2022
Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\)
nên MAOB là tứ giác nội tiếp
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
24 tháng 3
a: Xét ΔOMA vuông tại M và ΔONP vuông tại N có
OM=ON
\(\hat{MOA}=\hat{NOP}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔOMA=ΔONP
=>OA=OP và MA=NP và \(\hat{OAM}=\hat{OPN}\)
b: Xét ΔBOA vuông tại O và ΔBOP vuông tại O có
BO chung
OA=OP
Do đó: ΔBOA=ΔBOP
=>BA=BP và \(\hat{OBA}=\hat{OBP}\)
Xét ΔBHO vuông tại H và ΔBNO vuông tại N có
BO chung
\(\hat{HBO}=\hat{NBO}\)
Do đó: ΔBHO=ΔBNO
=>OH=ON
=>OH=R
=>H thuộc (O)
Xét (O) có
OH là bán kính
AB⊥OH tại H
Do đó: AB là tiếp tuyến của (O)
c: Xét ΔAMO vuông tại M và ΔAHO vuông tại H có
OA chung
OM=OH
Do đó: ΔAMO=ΔAHO
=>AM=AH
Xét ΔOAB vuông tại O có OH là đường cao
nên \(HA\cdot HB=OH^2\)
=>\(AM\cdot BN=R^2\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
24 tháng 3
a: Xét ΔOMA vuông tại M và ΔONP vuông tại N có
OM=ON
\(\hat{MOA}=\hat{NOP}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔOMA=ΔONP
=>OA=OP và MA=NP và \(\hat{OAM}=\hat{OPN}\)
b: Xét ΔBOA vuông tại O và ΔBOP vuông tại O có
BO chung
OA=OP
Do đó: ΔBOA=ΔBOP
=>BA=BP và \(\hat{OBA}=\hat{OBP}\)
Xét ΔBHO vuông tại H và ΔBNO vuông tại N có
BO chung
\(\hat{HBO}=\hat{NBO}\)
Do đó: ΔBHO=ΔBNO
=>OH=ON
=>OH=R
=>H thuộc (O)
Xét (O) có
OH là bán kính
AB⊥OH tại H
Do đó: AB là tiếp tuyến của (O)
c: Xét ΔAMO vuông tại M và ΔAHO vuông tại H có
OA chung
OM=OH
Do đó: ΔAMO=ΔAHO
=>AM=AH
Xét ΔOAB vuông tại O có OH là đường cao
nên \(HA\cdot HB=OH^2\)
=>\(AM\cdot BN=R^2\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
9 tháng 4 2021
a) Sửa đề: 5 điểm A,B,D,F,E cùng thuộc một đường tròn
Xét tứ giác ABFE có
\(\widehat{AFB}=\widehat{AEB}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{AFB}\) và \(\widehat{AEB}\) là hai góc cùng nhìn cạnh AB
Do đó: ABFE là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Suy ra: A,B,F,E cùng thuộc 1 đường tròn(1)
Xét tứ giác ABDE có
\(\widehat{ADB}=\widehat{AEB}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{ADB}\) và \(\widehat{AEB}\) là hai góc cùng nhìn cạnh AB
Do đó: ABDE là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Suy ra: A,B,D,E cùng thuộc 1 đường tròn(2)
Từ (1) và (2) suy ra A,B,D,F,E cùng thuộc 1 đường tròn(đpcm)
Tâm I của đường tròn này là trung điểm của AB
a)
Gọi giao của AM và OI là H, giao của O'I và AN là K
Ta có: IO là phân giác \(\widehat{MIA}\) ( tính chất tiếp tuyến)
IO' là phân giác \(\widehat{NIA}\) ( tính chất tiếp tuyến)
Do đó suy ra \(\widehat{OIO'}\) =90o (2 tia phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau)
Ta có: \(OA=OM=R\)
\(\Rightarrow\) O thuộc đường trung trực của AM (1)
Ta có: \(IA=IM\) ( tính chất tiếp tuyến)
\(\Rightarrow\) I thuộc đường trung trực của AM (2)
(1)(2)\(\Rightarrow\) OI là trung trực của AM
\(\Rightarrow\)\(\widehat{IHA}\) \(=90^o\)
Chứng minh tương tự: O'I là trung trực của AN
\(\Rightarrow\) \(\widehat{IKA}\) \(=90^o\)
Do đó AHIK là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\) \(\widehat{MAN}\)\(=90^o\)
b)
Giả sử R>R'
Từ O'kẻ đường thẳng song song với MN cắt OM tại D
\(\Rightarrow\) \(OD\)//\(MN\)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{O'DM} \)\(=90^o\)
Mà \(\widehat{OMN}\)=90o, \(\widehat{O'NM}\) =90o
\(\Rightarrow MNO'D\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow MN=O'D,MD=NO'=R',OD=OM-MD=R-R'\)
Vì \(\widehat{O'DM}\) =90
\(\Rightarrow\) \(\Delta ODO'\) là tam giác vuông
\(\Rightarrow DO^2=OO'^2-OD^2\)( định lý pythagor)
\(\Rightarrow DO^2=\left(R+R'\right)^2-\left(R-R'\right)^2=4RR'\)
\(\Rightarrow DO=2\sqrt{RR'}\)
\(\Rightarrow MN=2\sqrt{R.R'}\left(đpcm\right)\)