a: ΔPBC đồng dạng với ΔCDN

=>CD*BC=BP*DN

=>BP*DN=AB^2

b: AB^2=BP*DN

=>BD/BP=DN/DB

Xét ΔBND và ΔBPD có

góc BDN=góc PBD

DN/DB=BD/BP

=>ΔBND đồng dạng với ΔPDB

=>góc BND=góc BDP

góc BMD=góc BND+góc MDN

=>góc BMD=góc BDM+góc MDN=góc BDA=60 độ

BM+BN=AB

BM+MA=BA

Do đó: BN=MA

Ta có: BN+NC=BC

MA+MB=BA

mà BN=MA và BC=BA

nên NC=MB

ABCD là hình thoi

=>\(\hat{BCD}=\hat{BAD}=60^0\)

Xét ΔABD có AB=AD và \(\hat{BAD}=60^0\)

nên ΔABD đều

=>AB=AD=BD và \(\hat{ABD}=\hat{ADB}=60^0\)

Xét ΔCBD có CB=CD và \(\hat{BCD}=60^0\)

nên ΔCBD đều

=>CB=CD=BD và \(\hat{CBD}=\hat{CDB}=60^0\)

Xét ΔMAD và ΔNBD có

MA=NB

\(\hat{MAD}=\hat{NBD}\left(=60^0\right)\)

AD=BD

Do đó: ΔMAD=ΔNBD

=>MD=ND

ΔMAD=ΔNBD

=>\(\hat{MDA}=\hat{NDB}\)

mà \(\hat{MDA}+\hat{MDB}=\hat{ADB}=60^0\)

nên \(\hat{MDB}+\hat{NDB}=60^0\)

=>\(\hat{MDN}=60^0\)

Xét ΔDMN có DM=DN và \(\hat{MDN}=60^0\)

nên ΔDMN đều

Kẻ BH vuông góc AD

Tam giác ABH là tam giác đều nên BH=AD=10(cm)

Suy ra S_ABCD=10.10=100(cm²)

a: M là trung điểm của DC

=>DM=MC=DC/2=a/2=0,5a

N là trung điểm của AB

=>\(AN=NB=\frac{AB}{2}=\frac{3a}{2}=1,5a\)

Xét tứ giác DMNE có

DM//NE

DE//MN

Do đó: DMNE là hình bình hành

=>EN=DM=0,5a

AE+EN=AN

=>AE=1,5a-0,5a=a

=>AE=a=DC=AD

Xét ΔAED có AE=AD và \(\hat{EAD}=60^0\)

nên ΔAED đều

=>DE=AD=a và \(\hat{AED}=60^0\)

DE//MN

=>\(\hat{MNA}=\hat{AED}=60^0\)

Xét tứ giác ADMN có

DM//AN

\(\hat{DAN}=\hat{MNA}\left(=60^0\right)\)

Do đó: ADMN là hình thang cân

b: Xét tứ giác AECD có

AE//CD

AE=CD

Do đó: AECD là hình bình hành

Hình bình hành AECD có AD=AE

nên AECD là hình thoi

a: P là trung điểm của AB

=>\(BP=\frac12\cdot BA\)

=>\(S_{PBC}=\frac12\cdot S_{ABC}\)

ABCD là hình thoi

=>\(S_{ABC}=\frac12\cdot S_{ABCD}\)

=>\(S_{PBC}=\frac12\cdot\frac12\cdot S_{ABCD}=\frac14\cdot S_{ABCD}\)

=>\(S_{ABCD}=4\cdot S_{PBC}\)

b: Sửa đề: N là giao điểm của AC và BD, M là giao điểm của DP và AM

ABCD là hình thoi

=>AC⊥BD tại N và N là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔABD có AB=AD và \(\hat{BAD}=60^0\)

nên ΔABD đều

ΔABD đều

mà DP là đường trung tuyến

nên DP⊥AB tại P

Xét ΔPMA vuông tại P và ΔPBD vuông tại P có

\(\hat{PMA}=\hat{PBD}\left(=90^0-\hat{PAM}\right)\)

Do đó; ΔPMA~ΔPBD

=>\(\frac{PM}{PB}=\frac{PA}{PD}\)

=>\(PM\cdot PD=PA\cdot PB\)

O A E B F C G H D

Đặt OB = OD = a. Hãy chứng minh OE = a

 Tương tự, OF = OG = OH = a 

 Từ đó suy ra sáu điểm E, B, F, G, D, H cùng thuộc một đường tròn ( O;a )

Xét ΔABD có AB=AD và góc BAD=60 độ

nên ΔABD đều

Ta có: ΔDAB cân tại D

mà DE là đường trung tuyến

nên DE vuông góc với BE

=>E nằm trên đường tròn đường kính BD(1)

Ta có:ΔBAD cân tại B

ma BH là đường trung tuyến

nên BH vuông góc với HD

=>H nằm trên đường tròn đường kính BD(2)

Xét ΔCBD có CB=CD và góc BCD=60 độ

nên ΔCBD đều

Ta có: ΔBDC cân tại D

mà DF là đường trung tuyến

nen DF vuông góc với BF

=>F nằm trên đường tròn đường kính BD(3)

Ta có: ΔBDC cân tại B

mà BG là đường trung tuyến

nên BG vuông góc với GD
=>G nằm trên đường tròn đường kính BD(4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra E,B,F,G,D,H cùng nằm trên 1 đường tròn