Đáp án: Giải thích các bước giải a) Hình bình hành ABCD gọi OO là giao điểm của AC và BD ⇒O⇒O là trung điểm của AC, BD (tính chất ) Xét hai tam giác vuông ΔOEBΔOEB và OFDOFD có: OB=ODOB=OD ˆBOE=ˆDOFBOE^=DOF^ (đối đỉnh) ⇒ΔOEB=ΔOFD⇒ΔOEB=ΔOFD (cạnh huyền-góc nhọn) ⇒BE=DF⇒BE=DF (hai cạnh tương ứng) Và có BE//DFBE//DF (vì cùng vuông góc với AC giả thiết) Từ hai điều trên ⇒⇒ tứ giác BEDF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) b) Xét ΔHBCΔHBC và ΔKDCΔKDC có: ˆBHC=ˆDKC=90oBHC^=DKC^=90o (giả thiết) ˆHBC=ˆKDCHBC^=KDC^ (=ˆBAD=BAD^ đồng vị) ⇒ΔHBC∼ΔKDC⇒ΔHBC∼ΔKDC (g.g) ⇒CHCK=CBCD⇒CHCK=CBCD (hai cạnh tương ứng tỉ lệ) ⇒CH.CD=CK.CB⇒CH.CD=CK.CB (đpcm) c) Xét ΔAEBΔAEB và ΔAHCΔAHC có: ˆAA^ chung ˆAEB=ˆAHC=90oAEB^=AHC^=90o ⇒ΔAEB∼ΔAHC⇒ΔAEB∼ΔAHC (g.g) ⇒AEAH=ABAC⇒AEAH=ABAC (hai cạnh tương ứng tỉ lệ) ⇒AE.AC=AB.AH⇒AE.AC=AB.AH (1) Xét ΔAFDΔAFD và ΔAKCΔAKC có: ˆAA^ chung ˆAFD=ˆAKC=90oAFD^=AKC^=90o ⇒ΔAFD=ΔAKC⇒ΔAFD=ΔAKC (g.g) ⇒AFAK=ADAC⇒AFAK=ADAC (hai cạnh tương ứng bằng nhau) ⇒AF.AC=AK.AD⇒AF.AC=AK.AD (2) Ta có OE=OF (suy ra từ ΔOEB=ΔOFDΔOEB=ΔOFD câu a) OA=OC (tính chất hình bình hành) ⇒OA−OE=OC−OF⇒OA−OE=OC−OF hay AE=FCAE=FC (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra AB.AH+AK.AD=AE.AC+AF.ACAB.AH+AK.AD=AE.AC+AF.AC =AC(AE+AF)=AC(FC+AF)=AC2=AC(AE+AF)=AC(FC+AF)=AC2 (đpcm)

viết code hả bạn??? đọc lòi mắt

Câu 3:Sửa đề: cắt AC,AB lần lượt tại F và E

a;Xét tứ giác AEDF có

AE//DF

AF//DE

Do đó: AEDF là hình bình hành

Hình bình hành AEDF có \(\hat{EAF}=90^0\)

nên AEDF là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

D là trung điểm của BC

DE//AC

Do đó: E là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

D là trung điểm của BC

DF//AB

Do đó: F là trung điểm của AC

=>A đối xứng C qua F

c: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

Xét ΔABC có

E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>EF là đường trungbình của ΔABC

=>EF=BC/2=5(cm)

E là trung điểm của AB

=>AE=AB/2=6/2=3(cm)

F là trung điểm của AC
=>AF=AC/2=4(cm)

AEDF là hình chữ nhật

=>\(S_{AEDF}=AE\cdot AF=3\cdot4=12\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Câu 2:

a: Ta có: \(AK=KB=\frac{AB}{2}\)

\(DI=IC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=CD

nên AK=KB=DI=IC

Xét tứ giác AKCI có

AK//CI

AK=CI

Do đó: AKCI là hình bình hành

b: AKCI là hình bình hành

=>AI//CK

Xét ΔDNC có

I là trung điểm của DC

IM//NC

Do đó; M là trung điểm của DN

=>DM=MN(1)

Xét ΔBAM có

K là trung điểm của BA

KN//AM

Do đó: N là trung điểm của BM

=>BN=NM(2)

Từ (1),(2) suy ra DM=MN=NB

c: AKCI là hình bình hành

=>AC cắt KI tại trung điểm của mỗi đường(1)

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AC,BD,KI đồng quy

Chứng minh k,o, i thẳng hàng:

ABCD là HBH 

=> BC và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà: O là giao điểm của CB và AC

=> O là trung điểm của AC

Tứ giác AKCI có: AK = IC (GT); AK // IC (ABCD là HBH)

=> AKCI là HCH

=> AC và IK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà: O là trung điểm của AC

=> O là trung điểm của IK

=> O,I,K thẳng hàng

\(3\overrightarrow{AP}-2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\)

\(VT=3\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP}\right)-2\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right)\)

\(=3\overrightarrow{AD}+3\overrightarrow{DP}-2\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{DC}\)

\(=\overrightarrow{AD}+3\overrightarrow{DP}-2\overrightarrow{DC}\)

\(=\overrightarrow{AD}+3\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CP}\right)-2\overrightarrow{DC}\)

\(=\overrightarrow{AD}+3\overrightarrow{DC}+3\overrightarrow{CP}-2\overrightarrow{DC}\)

\(=\widehat{AD}+\overrightarrow{DC}+3.\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CO}\)

\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+2.\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}\)

\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}\)

\(=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\)

\(=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}=VP\) (điều phải chứng minh)

b) Vì BI vuông góc với AC tại I, nên I thuộc AC.

    Vì DK vuông góc với AC tại K, nên K thuộc AC.

    Vì O là giao điểm của AC và BD nên O thuộc AC.

    Suy ra I, O, K là các điểm thuộc AC; từ đó ba điểm I, O, K thẳng hàng

a:

Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=CD

nên AM=MB=DN=NC

Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

b: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của AC và BD

AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của AC

nên I là trung điểm của MN

=>M,I,N thẳng hàng

Theo tính chất hình bình hành ta có: I là trung điểm của AC và BD.

Suy ra:

Xét tam giác AID có:  A I 2 + I D 2 = A D 2   ( 3 2 + 4 2 = 5 2 = 25 )

Suy ra: tam giác AID là tam giác vuông: AI ⊥ DI hay AC ⊥ BD

Hình bình hành ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau nên là hình thoi.

Suy ra: AB = BC = CD = DA = 5cm

Chọn đáp án B

IA = IC và IB = ID => Điểm I là trung điểm của hai đường chéo AC và BD.

Do E là điểm bất kì trên AB, mà E đối xứng với F qua O => F nằm trên DC⇒ D,F,C thẳng hàng