a) Ta có BM = CN và I là trung điểm của BC, K là trung điểm của MN. Vậy ta có BI = CK và IM = KN.

Do đó, ta có:
IK = IM + MK = KN + MK = KM

Vậy tam giác IKQ có hai cạnh bằng nhau là IK = KQ. Do đó, tam giác IKQ là tam giác cân.

b) Ta có BI = CK và IM = KN (vì I, K lần lượt là trung điểm của BC, MN).

Giả sử giao điểm của IK và AB là D, giao điểm của IK và AC là E.

Ta có:
BD = DC (vì I là trung điểm của BC)
IM = KN (vì K là trung điểm của MN)

Do đó, theo nguyên lý đồng dạng tam giác, ta có:
∠IDB = ∠EDC (cùng là góc nội tiếp cùng cung BD)
∠IMK = ∠KNQ (cùng là góc nội tiếp cùng cung MK)

Vậy ta có:
∠IDB = ∠EDC
∠IMK = ∠KNQ

Từ đó suy ra:
∠IDB + ∠IMK = ∠EDC + ∠KNQ

Nhưng ta cũng biết rằng:
∠IDB + ∠IMK = ∠BID
∠EDC + ∠KNQ = ∠CED

Vậy ∠BID = ∠CED, tức là góc tạo bởi IK và các đường thẳng AB, AC là bằng nhau.

a: Xét ΔABM và ΔACN có 
AB=AC

\(\widehat{BAM}\) chung

AM=AN

Do đó: ΔABM=ΔACN

Suy ra: BM=CN

b: Xét ΔNBC và ΔMCB có 

NB=MC

NC=MB

BC chung

Do đó: ΔNBC=ΔMCB

Suy ra: \(\widehat{GNB}=\widehat{GMC}\)

Xét ΔGNB và ΔGMC có 

\(\widehat{GNB}=\widehat{GMC}\)

NB=MC

\(\widehat{GBN}=\widehat{GCM}\)

Do đó: ΔGNB=ΔGMC

trong tam giác ABC có AB=AC nên tam giác ABC cân tại A suy ra góc B= góc C

ta có \(\widehat{NCB}=90^0-\widehat{B}\)

          \(\widehat{MBC}=90^0-\widehat{C}\)

mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\)nên \(\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\)

Xét tam giác BMC và tam giác BNC có

\(\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)

BC là cạnh chung 

Do đó tam giác BNC = tam giác CMB(g.c.g)

suy ra BM=CN ( 2 cạnh tương ứng)(đpcm)

Qua M, kẻ ME//BN(E∈CN)

Xét ΔBNC có ME//BN

nên \(\frac{CM}{MB}=\frac{CE}{EN}\)

=>\(\frac{CE}{EN}=\frac12\)

=>\(NE=2\cdot CE\)

Ta có: NC= NE+EC

=>NC=2CE+CE=3CE

NC=3AN

=>3AN=3CE

=>AN=CE

=>AN=1/2NE

Xét ΔAME có IN//ME

nên \(\frac{AN}{NE}=\frac{AI}{IM}\)

=>\(\frac{AI}{IM}=\frac12\)

=>\(\frac{AI}{AM}=\frac13;\frac{MI}{MA}=\frac23\)

Qua M, kẻ MF//KC(F∈BK)

Xét ΔBKC có FM//KC

nên \(\frac{BM}{MC}=\frac{BF}{FK}\)

=>\(\frac{BF}{FK}=2\)

=>BK=2KF

Xét ΔAFM có KI//FM

nên \(\frac{AK}{KF}=\frac{AI}{IM}=\frac12\)

=>\(AK=\frac12KF\)

Ta có: AK+KF+FB=AB

=>\(AB=KF+2KF+\frac12KF=3,5KF\)

=>\(\frac{AB}{BK}=\frac{3.5}{2}=\frac74\)

A B C M N 1 2

Xét  \(\Delta ABC\) ta có :
AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) 

\(\Leftrightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}\) ( tính chất đường phân giác trong tam giác )
\(\Leftrightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{MB}{NC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{NC}\) 

Xét \(\Delta ABC\) có : \(\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{NC}\)

\(\Leftrightarrow MN//BC\) ( điịnh lí Ta - lét đảo )

Chúc bạn học tốt !!!

Ta có: MB=MC

=>\(S_{EMB}=S_{EMC};S_{NMB}=S_{NMC}\)

=>\(S_{EMB}-S_{NMB}=S_{EMC}-S_{NMC}\)

=>\(S_{ENB}=S_{ENC}\)

TA có: CN=3NA

=>\(S_{ENC}=3\times S_{ENA}\)

=>\(S_{ENB}=3\times S_{ENA}\)

Ta có: \(S_{ENA}+S_{BAN}=S_{ENB}\)

=>\(S_{BAN}=4\times S_{ENA}-S_{ENA}=3\times S_{NEA}=3\times27=81\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

AN+NC=AC

=>AC=3NA+NA=4NA

=>\(S_{ABC}=4\times S_{ABN}=4\times81=324\left(\operatorname{cm}^2\right)\)