Do ABCD là hình chữ nhật => CD = AB = 13 cm và BD = AC 
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông DHC có: 
HC^2 = CD^2 - DH^2 = 13^2 - 5^2 = 12^2 => HC = 12 cm 
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ACD có: 
CD^2 = HC.AC => AC = CD^2/HC = 13^2/12 = 169/12 cm 
Vậy BD = AC = 169/12 cm.

A B C D H 13 5 13

Theo đinh lý Pytago trong tam giác HCD có:

\(HC^2+HD^2=CD^2\)

\(\Rightarrow HC=\sqrt{13^2-5^2}=12\)

Lại có: \(CD^2=HC.AC\)

\(\Rightarrow13^2=12.AC\)

\(\Rightarrow AC=\frac{169}{12}\approx14,1\)

\(\Rightarrow BD\approx14,1\)(cm)

Giải như ngu

A B H C D E

ta có\(AH=\frac{1}{4}AB=3cm\)

 \(\frac{BH}{BA}=\frac{HD}{AC}=\frac{AE}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow AE=\frac{3}{4}AC=12cm\)

Vậy điện tích AEDH là \(3\times12=36cm^2\)

Xét tam giác DHC vuông tại H

\(\Rightarrow HC=\sqrt{DC^2-DH^2}=12\left(cm\right)\)

Xét tam giác ADC vuông tại D đường cao DH

\(\Rightarrow AH=\dfrac{DH^2}{HC}=\dfrac{25}{12}\)

\(\Rightarrow AC=AH+HC=\dfrac{169}{12}\)(cm)

\(\Rightarrow BD=\dfrac{169}{12}\)(cm)

ABCD là hình chữ nhật

=>AB=CD

=>CD=13(cm)

ΔDHC vuông tại H

=>\(DH^2+HC^2=DC^2\)

=>\(HC^2=13^2-5^2=169-25=144=12^2\)

=>HC=12(cm)

Xét ΔADC vuông tại D có DH là đường cao

nên \(DH^2=HA\cdot HC\)

=>\(HA=\frac{5^2}{12}=\frac{25}{12}\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔAHD vuông tại H

=>\(AH^2+HD^2=AD^2\)

=>\(AD^2=5^2+\left(\frac{25}{12}\right)^2=25+\frac{625}{144}=\frac{25\cdot144+625}{144}=\frac{4225}{144}=\left(\frac{65}{12}\right)^2\)

=>\(AD=\frac{65}{12}\left(\operatorname{cm}\right)\)

a: ΔABC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=4^2+3^2=25\)

=>AC=5(cm)

Xét ΔBAC vuông tại B có BH là đường cao

nên \(BH\cdot AC=BA\cdot BC\)

=>BH*5=3*4=12

=>BH=2,4(cm)

Xét ΔBAC vuông tại B có

\(sinBAC=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{3}{5}\)

=>\(\widehat{BAC}\simeq37^0\)

b: Xét ΔABE vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BE=BA^2\)(1)

Xét ΔABC vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AC=AB^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BH\cdot BE=AH\cdot AC\)

c: Xét ΔBHC vuông tại H và ΔBFE vuông tại F có

\(\widehat{HBC}\) chung

Do đó: ΔBHC\(\sim\)ΔBFE

=>\(\dfrac{BH}{BF}=\dfrac{BC}{BE}\)

=>\(\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BF}{BE}\)

Xét ΔBHF và ΔBCE có

BH/BC=BF/BE

\(\widehat{HBF}\) chung

Do đó: ΔBHF\(\sim\)ΔBCE

A B C D H M I K            

Gọi K là trung điểm của DH.

MK là đường trung bình của \(\Delta HDC\Rightarrow\hept{\begin{cases}KM//DC\\KM=\frac{1}{2}DC\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}KM//AI\left(1\right)\\KM=\frac{1}{2}AB\end{cases}}}\)  (do DC//AI và CD = AB)

Ta có: KM // DC (cmt) và \(DC\perp AD\left(gt\right)\Rightarrow KM\perp AD\)

C/m được K là trực tâm của \(\Delta ADM\Rightarrow AK\perp DM\)

\(\Rightarrow AK//IM\) (vì IM vuông góc với DM) (2)

Từ (1) và (2), ta được AKMI là hình bình hành.

\(\Rightarrow AI=KM=\frac{1}{2}AB\)

\(AI+IB=AB\Rightarrow\frac{1}{2}AB+IB=AB\Rightarrow IB=\frac{1}{2}AB\)

Vậy AI = BI.