Bài 1:

a: Xét ΔIAB và ΔIMD có

\(\hat{IAB}=\hat{IMD}\) (hai góc so le trong, AB//MD)

\(\hat{AIB}=\hat{MID}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIAB~ΔIMD

=>\(\frac{IA}{IM}=\frac{AB}{MD}=\frac{IB}{ID}\)

mà MD=MC

nên \(\frac{IA}{IM}=\frac{IB}{ID}=\frac{AB}{MC}\left(1\right)\)

Xét ΔKAB và ΔKCM có

\(\hat{KAB}=\hat{KCM}\) (hai góc so le trong, AB//MC)

\(\hat{AKB}=\hat{CKM}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKAB~ΔKCM

=>\(\frac{KA}{KC}=\frac{KB}{KM}=\frac{AB}{CM}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{IA}{IM}=\frac{IB}{ID}=\frac{KA}{KC}=\frac{KB}{KM}\)

Xét ΔMAB có \(\frac{IA}{IM}=\frac{BK}{KM}\)

nên IK//AB

b: IK//AB

AB//CD

Do đó: IK//CD
Xét ΔBMC có KF//MC

nên \(\frac{KF}{MC}=\frac{BK}{BM}\) (3)

Xét ΔBDM có IK//DM

nên \(\frac{IK}{DM}=\frac{BK}{BM}\) (4)

Từ (3),(4) suy ra \(\frac{KF}{MC}=\frac{IK}{DM}\)

mà MC=DM

nên KF=IK

Xét ΔADM có EI//DM

nên \(\frac{EI}{DM}=\frac{AI}{AM}\) (5)

Xét ΔAMC có IK//MC

nên \(\frac{IK}{MC}=\frac{AI}{AM}\) (6)

Từ (5),(6) suy ra \(\frac{EI}{DM}=\frac{IK}{MC}\)

mà DM=MC

nên EI=IK

mà IK=KF

nên EI=IK=KF

Bài 2:

Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=DC

nên AM=MB=DN=NC

Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

=>AN//CM

=>MQ//AP và PN//CQ

Xét ΔBAP có

M là trung điểm của BA

MQ//AP

Do đó: Q là trung điểm của BP

=>BQ=QP(1)

Xét ΔDQC có

N là trung điểm của DC

NP//QC

Do đó: P là trung điểm của DQ

=>DP=PQ(2)

Từ (1),(2) suy ra DP=PQ=QB

bÀI 1

Cho hình thang \(A B C D\) (AB // CD, AB < CD).
M là trung điểm CD.
AM cắt BD tại I; BM cắt AC tại K.
IK cắt AD, BC lần lượt tại E và F.

Cần chứng minh:

a) \(I K \parallel A B\)

b) \(E I = I K = K F\)

Bài này thuộc dạng định lý Menelaus + đồng dạng + tỉ số trung tuyến trong tam giác hoặc dùng tính chất trọng tâm trong tam giác (cách nhanh nhất).

nhận xét:

Vì M là trung điểm CD → AM và BM là hai đường nối đỉnh với trung điểm trong các tam giác.

=> I và K là trọng tâm của các tam giác:

• I là trọng tâm tam giác BCD? → Không phải.
• Xét tam giác ABD: M không thuộc tam giác nên không dùng được.

→ Cách đúng là dùng tỉ số:

Chứng minh chi tiết

1. Chứng minh IK // AB

Xét tam giác BCD.
M là trung điểm CD ⇒ \(C M = M D\).

Xét các cặp giao điểm:

• I = AM ∩ BD
• K = BM ∩ AC

Áp dụng định lý Thales đảo trong các tam giác:

Trong tam giác ABD, đường thẳng IK nối các điểm chia BD và AC theo cùng tỉ số:

Ta có:

\(\frac{B I}{I D} = \frac{B A}{A D} \left(\right. 1 \left.\right)\) \(\frac{B K}{K A} = \frac{B C}{C A} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ hình thang AB // CD ⇒ hai tam giác ABD và ABC đồng dạng ở các vị trí thích hợp, dẫn đến:

\(\frac{B A}{A D} = \frac{B C}{C A}\)

Thay vào (1) và (2) ta được:

\(\frac{B I}{I D} = \frac{B K}{K A}\)

⇒ Trong tam giác BDA, đường IK nối hai điểm chia BD và AC theo cùng tỉ số.

Kết luận:

\(I K \parallel A B .\)

2. Chứng minh EI = IK = KF

Ta đã có IK // AB // CD.

Xét các điểm E và F:

• E = IK ∩ AD
• F = IK ∩ BC

Khi IK // AB, thì IK là đường trung bình trong tam giác lớn được tách ra bởi các giao điểm.

Ta cần chứng minh E, I, K, F chia IK thành ba đoạn bằng nhau.

Sử dụng các tính chất đồng dạng của những tam giác:

Trong tam giác AD B:

IK // AB ⇒

\(\frac{E I}{I K} = \frac{A D}{A B} - 1\)

và tương tự bên phía K–F.

Do AB // CD, các tỉ số hai bên bằng nhau ⇒ EI = IK = KF.

\(vậyEI=IK=KF.\)

bài 2

Cho hình bình hành ABCD.
M, N lần lượt là trung điểm AB và CD.
AN và CM cắt BD tại P và Q.
Chứng minh: \(D P = P Q = Q B\).

Cách làm nhanh – sử dụng tính chất trọng tâm

Trong hình bình hành:

• M là trung điểm AB
• N là trung điểm CD

⇒ MN // AD // BC và MN = AD = BC.

Xét tam giác ABD:

• M là trung điểm AB
• N là trung điểm CD → nhưng N không thuộc tam giác ABD.

Ta dùng tính chất các đường nối trung điểm với đỉnh đối diện qua đường chéo.

Dùng tọa độ để chứng minh đơn giản

Đặt hệ trục:

• D(0,0)
• C(2,0)
• A(0,2)
• B(2,2)

⇒ Hình bình hành ABCD.

Trung điểm:

• M của AB ⇒ M(1,2)
• N của CD ⇒ N(1,0)

Viết phương trình:

• AN: nối A(0,2) – N(1,0)
• CM: nối C(2,0) – M(1,2)

Đường chéo BD: (0,2) → (2,0)

Tìm giao điểm:

• P = BD ∩ AN
• Q = BD ∩ CM

Tính được:

• P(2/3, 4/3)
• Q(4/3, 2/3)
• D(0,0)
• B(2,2)

Tính độ dài vectơ:

\(\overset{⃗}{D P} = \left(\right. \frac{2}{3} , \frac{4}{3} \left.\right)\)

tham khảo>:??