:a) Xét tam giác ABC có BC2=AB2+AC2 ( Định lý Py-ta-go)

Thay số:BC2=6 2+8 2 BC2=36+64=100 =>BC=10(cm)

b) Vì BI là phân giác => góc ABI= góc HBI= góc ABC / 2

Xét tam giác ABI vuông tại A và tam giác HBI vuông tại H có:

Bi chung, góc ABI= góc HBI ( cmt) => tam giác ABI= tam giác HBI (cạnh huyền - góc nhọn)

A B C N S H P M D

Dễ thấy D nằm giữa M và H

Ta có : AD là tia phân giác góc BAC \(\Rightarrow\widehat{PAB}=\widehat{PAC}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=45^o\)

Mà \(\widehat{BAP}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BP}=45^o\); \(\widehat{PAC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{PC}=45^o\)

\(\Rightarrow sđ\widebat{BP}=sđ\widebat{PC}=90^o\)

Ta có : AM là đường trung tuyến nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

\(\Rightarrow\widehat{BMP}=sđ\widebat{BP}=90^o\)

\(\Rightarrow BM\perp MP\)hay \(BC\perp MP\)( 1 )

Mà AH là đường cao tam giác ABC nên \(BC\perp AH\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra AH // MP

Ta có: \(\hat{B}+\hat{C}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)

\(\hat{CAH}+\hat{C}=90^0\) (ΔCHA vuông tại H)

Do đó: \(\hat{B}=\hat{CAH}\)

=>\(\hat{CAH}=60^0\)

Xét ΔCAH vuông tại H có sin CAH=CH/AC

=>\(AC=\frac{CH}{\sin60}=\frac{20}{\sin60}=\frac{40\sqrt3}{3}\)

Xét ΔCAB vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AC^2=CH\cdot CB\)

=>\(CB=\left(\frac{40\sqrt3}{3}\right)^2:20=\frac{80}{3}\) (cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AB^2=\left(\frac{80}{3}\right)^2-\left(\frac{40\sqrt3}{3}\right)^2=\frac{1600}{9}\)

=>\(AB=\frac{40}{3}\) (cm)

Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=AB+AC+BC=\frac{40}{3}+\frac{40\sqrt3}{3}+\frac{80}{3}=\frac{120+40\sqrt3}{3}\) ≃63,09(cm)

Ta có: BD+CD=BC(D nằm giữa B và C)

nên CD=BC-BD=10-7=3(cm)

Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)

nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\)(Tính chất đường phân giác)

hay \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{7}{3}\)

\(\Leftrightarrow AB=\dfrac{7}{3}AC\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔBAC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AC=\dfrac{15\sqrt{58}}{29}\)

\(\Leftrightarrow AB=\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{15\sqrt{58}}{29}=\dfrac{35\sqrt{58}}{29}\)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{35\sqrt{58}}{29}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{15\sqrt{58}}{29}\right)^2}=\dfrac{841}{11025}\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{105}{29}\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được:

\(AB^2=AH^2+BH^2\)

\(\Leftrightarrow BH^2=\dfrac{60025}{641}\)

hay \(BH=\dfrac{245}{29}\left(cm\right)\)

Ta có: BD+DH=BH(D nằm giữa B và H)

nên \(DH=BH-BD\)

\(\Leftrightarrow DH=\dfrac{245}{29}-7=\dfrac{42}{29}\left(cm\right)\)

Vậy: \(AH=\dfrac{105}{29}\left(cm\right)\);\(BH=\dfrac{245}{29}\left(cm\right)\); \(DH=\dfrac{42}{29}\left(cm\right)\)

a: BC=10cm

=>AH=6*8/10=4,8cm

b: ΔAHB vuông tại H

mà HM là trung tuyến

nên HM=AM

Xét ΔOAM và ΔOHM có

OA=OH

MA=MH

OM chung

Do đó: ΔOAM=ΔOHM

=>góc OHM=90 độ

=>MH là tiếp tuyến của (O)

góc ADI=90 độ-góc ABD

góc AID=góc BIH=90 độ-góc DBC

mà góc ABD=góc DBC

nên góc ADI=góc AID

=>AI=AD
Xét ΔBHA có BI là phân giác

nên IH/IA=BH/BA

Xet ΔBAC vuông tại A có AH vuông góc BC

nên BA^2=BH*BC

=>BH/BA=BA/BC=IH/IA

=>IH=BA/BC*IA=BA/BC*AD

=>IH/AD=BA/BC

=>IH/AD=AD/DC

=>AD^2=IH*DC

Bài 1 : cho tg ABC vuông ở A đường cao AH , biết AH = 16 CH = 25 . Tính AB,AC, BC, BH

Bài làm :

B A C H

Áp dụng định lý 2 của hệ thức lượng giác trong tam giác ta có :

\(AH^2=BH.CH=>BH=\dfrac{AH^2}{CH}=\dfrac{16^2}{25}=10,24\left(\text{đ}v\text{dd}\right)\)

=> BC = BH + CH = 25 + 10,24 = 35,24 (dvdd)

Áp dụng định lý 1 của hệ thức lượng giác trong tam giác ta có :

\(AB^2=BH.BC=>AB=\sqrt{\left(10,24.35,24\right)}=\sqrt{360,8576}\left(dv\text{dd}\right)\)

Áp dụng Định lý py- ta - go ta có :

\(BC^2=AB^2+AC^2=>AC=\sqrt{\left(30,24^2-\left(\sqrt{360,8576}\right)^2\right)}=\sqrt{553,6}\left(dv\text{dd}\right)\)

B A C

Bài 2 :

Vì AD là đường phân giác nên ta có : \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{51}{68}=\dfrac{3}{4}\) => \(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{9}{16}\)

BC = BD + CD = 51 + 68 =119 (cm)

Ta có :

\(\dfrac{AB^2}{AB^2+AC^2}=\dfrac{9}{25}=\dfrac{AB^2}{BC^2}=>AB=\sqrt{\dfrac{119^2.9}{25}}=71,4\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Py - ta - go ta có :

\(BC^2=AB^2+AC^2=>AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{\left(119^2-71,4^2\right)}=95,2\left(cm\right)\)

Vậy.............

Hình dễ bạn tự vẽ nhé !

a) Xét tam giác ADB có AB = AD ( gt ) => Tam giác ADB cân tại A có AK là đường phân giác = > AK cũng là đường trung tuyến, đường cao, đường trung trực của tam giác ADB.

mk lm câu a nhé

a, Xét \(\Delta ABD\)vuông tại A có \(\widehat{B}=60^o\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=30^o\)

Xét \(\Delta AEF\) vuông tại E có \(\widehat{BAD}=30^o\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AFE}=60^o\)

mà \(\widehat{AFE}\) và \(\widehat{DFE}\) là 2 góc kề bù

\(\Rightarrow\widehat{DFE}=180^o-60^o=120^o\)

Vậy \(\widehat{DFE}=120^o\)