giúp với mọi ng

a) Xét (O) có 

ΔBMA nội tiếp đường tròn(B,M,A∈(O))

BA là đường kính(gt)

Do đó: ΔBMA vuông tại M(Định lí)

Xét (O) có 

AB là đường kính của (O)(gt)

nên O là trung điểm của AB

Xét ΔBMA có 

O là trung điểm của AB(gt)

C là trung điểm của AM(gt)

Do đó: OC là đường trung bình của ΔBMA(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒OC//BM và \(OC=\dfrac{BM}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: OC//BM(cmt)

BM⊥BA(ΔBMA vuông tại M)

Do đó: OC⊥AM(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Xét tứ giác OCNB có

\(\widehat{OCN}\) và \(\widehat{OBN}\) là hai góc đối

\(\widehat{OCN}+\widehat{OBN}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: OCNB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Xét ΔNBA vuông tại B và ΔOCA vuông tại C có

\(\widehat{OAC}\) chung

Do đó: ΔNBA∼ΔOCA(g-g)

⇒\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AN}{AO}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AC\cdot AN=AO\cdot AB\)(đpcm)

c) Ta có: OC⊥AN(cmt)

mà E∈OC(gt)

nên EC⊥NA

Xét ΔNEA có 

EC là đường cao ứng với cạnh NA(cmt)

AB là đường cao ứng với cạnh NE(gt)

EC cắt AB tại O(gt)

Do đó: O là trực tâm của ΔNEA(Định lí ba đường cao của tam giác)

⇒NO⊥AE(đpcm)

a: ΔOAC cân tại O

mà OM là đường cao

nên OM là phân giác của góc AOC

Xét ΔOAM và ΔOCM có

OA=OC

\(\hat{AOM}=\hat{COM}\)

OM chung

Do đó: ΔOAM=ΔOCM

=>\(\hat{OAM}=\hat{OCM}\)

=>\(\hat{OCM}=90^0\)

=>MC là tiếp tuyến của (O)

b: Gọi K là giao điểm của BC và AM

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥KB tại C

=>ΔACK vuông tại C

Ta có: \(\hat{MAC}+\hat{MKC}=90^0\) (ΔACK vuông tại C)

\(\hat{MCA}+\hat{MCK}=\hat{ACK}=90^0\)

mà \(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)

nên \(\hat{MKC}=\hat{MCK}\)

=>MK=MC

mà MA=MC

nên MA=MK(1)

Ta có: CH⊥AB

KA⊥BA

Do đó: CH//KA

Xét ΔBAM có IH//AM

nên \(\frac{IH}{AM}=\frac{BI}{BM}\left(2\right)\)

Xét ΔBMK có CI//KM

nên \(\frac{CI}{KM}=\frac{BI}{BM}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra IH=IC

a) Chứng minh \(M C\) là tiếp tuyến của đường tròn

Vì \(A M\) là tiếp tuyến tại \(A\), nên \(A M \bot A O\).

Ta có:

• \(O M\) là đường thẳng đi qua \(O\) và vuông góc với \(A C\) (theo giả thiết).
• Tam giác \(A O C\) vuông tại \(A\) (do \(A B\) là đường kính nên \(\angle A C B = 90^{\circ}\)).

Suy ra:

• \(A C \bot O C\)
• \(O M \bot A C\)

\(\Rightarrow O M / / O C\)

Xét tam giác \(A O C\), vì \(A M\) là tiếp tuyến tại \(A\) nên \(\angle M A C = \angle O C A\).

Mà \(\angle M A C = \angle M C A\)
\(\Rightarrow M C\) tạo với bán kính \(O C\) một góc vuông tại \(C\)

\(\Rightarrow M C\) tiếp xúc với đường tròn tại \(C\).
→ MC là tiếp tuyến của đường tròn

b) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(C\) trên \(A B\); \(I\) là giao điểm của \(M B\) và \(C H\). Chứng minh: \(C I = I H\).

Chứng minh:

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) ⇒ \(H\) là chân đường vuông góc từ \(C\) xuống \(A B\) ⇒ \(H\) là hình chiếu của \(C\) lên đường kính → \(C H\) là đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông \(A C B\).
• Theo tính chất đường tròn và tiếp tuyến:
  \(M C\) là tiếp tuyến tại \(C\), \(M B\) là cát tuyến.
  Ta có: \(M B^{2} = M C \cdot M A\) (định lý tiếp tuyến – cát tuyến).
• Xét tam giác \(M C H\), đường thẳng \(M B\) cắt \(C H\) tại \(I\).

Sử dụng hệ thức của tam giác vuông nội tiếp đường tròn:

\(C H^{2} = C I \cdot I H\)

Nhưng vì tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) nên \(C H^{2} = A H \cdot H B\)

Mà theo tính chất đồng dạng của các tam giác \(\Rightarrow C I = I H\).

→ \(C I = I H\).

ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]

AC.BD=\(\frac{AB^2}{4}\)<=> 4AC.BD=AB^2

<=>4AC.BD=4R^2

<=> AC.BD=R^2<=>AC.BD=AO^2 (1)

<=>áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có AC =CM ;BD=MD ; thế vào (1) TA đc CM.MD=AO^2 

Tiếp theo ta chứng minh tam giác COD vg bằng cách dựa vào tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau góc MDO=MBO; MCO=MAO Mà góc MAO +ABO =90 (do tam giac AMB vuông nội tiếp chắn nửa đg tròn cóa ab là đg kính.

KHI ĐÃ CHỨNG MINH ĐƯỢC TAM GIÁC COD mà có Mo là đg cao áp dụng hệ thức lượng ta có MO ^2=CM.MDHAY AO^2=CM.MD (ĐPCM)

a: Xét tứ giác PAOE có \(\hat{PAO}+\hat{PEO}=90^0+90^0=180^0\)

nên PAOE là tứ giác nội tiếp

=>P,A,O,E cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

PA,PE là các tiếp tuyến

Do đó: PA=PE và OP là phân giác của góc AOE

ΔOAE cân tại O

mà OP là phân giác

nên OP⊥AE tại F và F là trung điểm của AE

Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔEAB vuông tại E

=>AE⊥ EB

mà OP⊥AE

nên OP//EB

a) Xét (O) có 

\(\widehat{CDA}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{CA}\)

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{CA}\)

Do đó: \(\widehat{CDA}=\widehat{ABC}\)(Hệ quả góc nội tiếp)

hay \(\widehat{MDA}=\widehat{MBC}\)

Xét ΔMAD và ΔMCB có 

\(\widehat{MDA}=\widehat{MBC}\)(cmt)

\(\widehat{AMD}\) chung

Do đó: ΔMAD\(\sim\)ΔMCB(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(MA\cdot MB=MC\cdot MD\)(đpcm)