1:

a: Gọi O là giao điểm của AB và CD

Theo đề, ta có: AB⊥CD tại O và O là trung điểm chung của AB và CD

Xét ΔCOA vuông tại O và ΔCOB vuông tại O có

CO chung

OA=OB

Do đó: ΔCOA=ΔCOB

=>CA=CB(3)

Xét ΔBOC vuông tại O và ΔBOD vuông tại O có

BO chung

OC=OD

Do đó: ΔBOC=ΔBOD

=>BC=BD(2)

Xét ΔDOA vuông tại O và ΔDOB vuông tại O có

DO chung

OA=OB

Do đó: ΔDOA=ΔDOB

=>DA=DB(1)

Xét ΔAOC vuông tại O và ΔAOD vuông tại O có

AO chung

OC=OD

Do đó: ΔAOC=ΔAOD

=>AC=AD(4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra AC=CB=BD=DA

b: ΔCOA=ΔCOB

=>\(\hat{OCA}=\hat{OCB}\)

=>CO là phân giác của góc ACB

ΔBOC=ΔBOD

=>\(\hat{OBC}=\hat{OBD}\)

=>BO là phân giác của góc CBD

ΔDOA=ΔDOB

=>\(\hat{ODA}=\hat{ODB}\)

=>DO là phân giác của góc ADB

ΔAOC=ΔAOD

=>\(\hat{OAC}=\hat{OAD}\)

=>AO là phân giác của góc CAD

Xét Δ AOC và Δ BOD, ta có:

OA = OB ( Vì O là trung điểm của AB )

∠(AOC) =∠(BOD) (đối đỉnh)

OC = OD ( Vì O là trung điểm của CD)

Suy ra: ΔAOC = ΔBOD (c.g.c)

⇒∠A =∠B (hai góc tương ứng)

Vậy: AC // BD (vì có hai góc so le trong bằng nhau)

A C B D O

Cách 1:Xét tứ giác ADBC có 

AB và CD cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đường

=>ADBC là hình bình hành 

=>AC//BD(đl)

Cách 2 Chứng minh được \(\Delta AOC=\Delta BOD\left(AO=OC;\widehat{AOC}=\widehat{BOD};OC=OD\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{CAO}=\widehat{DBO}\)Hay \(\widehat{CAB}=\widehat{DBA}\)

Hai góc này ở vị trí so le trong bằng nhau

=> AC//BD

a: Xét ΔOAD và ΔOBC có

OA=OB

\(\hat{AOD}=\hat{BOC}\) (hai góc đối đỉnh)

OD=OC

Do đó: ΔOAD=ΔOBC

=>AD=BC

ΔOAD=ΔOBC

=>\(\hat{OAD}=\hat{OBC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AD//BC

b:Giả sử AO⊥CD thì khi đó, ta có;

Xét ΔAOC vuông tại O và ΔAOD vuông tại O có

AO chung

OC=OD

Do đó: ΔAOC=ΔAOD

=>AC=AD

=>KHi AC<AD thì AO không vuông góc với CD

d: Xét ΔOAM và ΔOBN có

OA=OB

\(\hat{OAM}=\hat{OBN}\) (hai góc so le trong, AM//BN)

AM=BN

Do đó: ΔOAM=ΔOBN

=>\(\hat{AOM}=\hat{BON}\)

mà \(\hat{AOM}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{MOB}+\hat{BON}=180^0\)

=>M,N,O thẳng hàng(1)

Xét ΔOAH và ΔOBK có

OA=OB

\(\hat{OAH}=\hat{OBK}\) (hai góc so le trong, AH//BK)

AH=BK

Do đó: ΔOAH=ΔOBK

=>\(\hat{AOH}=\hat{BOK}\)

mà \(\hat{AOH}+\hat{HOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{HOB}+\hat{BOK}=180^0\)

=>H,O,K thẳng hàng

=>HK đi qua O(2)

Từ (1),(2) suy ra MN,HK đi qua O

mà AB đi qua O

nên MN,HK,AB đồng quy

Ta có hình vẽ:

A B C D O

Xét Δ AOC và Δ BOD có:

OA = OB (gt)

AOC = BOD (đối đỉnh)

OC = OD (gt)

Do đó, Δ AOC = Δ BOD (c.g.c)

=> ACO = ODB (2 góc tương ứng)

Mà ACO và ODB là 2 góc so le trong nên AC // BD (đpcm)

Ta có hình vẽ sau:

O 1 2 A B C D

Xét ΔOAC và ΔOBD có:

OA = OB (gt)

\(\widehat{O_1}\) = \(\widehat{O_2}\) (2 góc đối đỉnh)

OC = OD (gt)

\(\Rightarrow\) ΔOAC = ΔOBD (c.g.c)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{C}\) = \(\widehat{D}\) (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này lại ở vị trí so le trong nên

\(\Rightarrow\) AC // BD(đpcm)

dễ v~~~ 

mình ko biết cách c/m thẳng hàng ở câu c thôi ai giúp với

A B C D O

Xét \(\Delta AOD\) và \(\Delta BOC\), ta có: AO = BO (vì O là trung điểm của AB); \(\widehat{AOD}=\widehat{BOC}\) (đối đỉnh); OD = OC (vì O là trung điểm của CD)

\(\Rightarrow\Delta AOD=\Delta BOC\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DAO}=\widehat{OBC}\) (2 góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le cho nên AC // BD.