Gọi (C) là đường tròn tâm O bán kính r, \(\left(C_1\right)\) là đường tròn tâm O bán kính R. Giả sử đường thẳng đã dựng được. Khi đó có thể xem D là ảnh của B qua phép đối xứng qua tâm A. Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng qua tâm A, thì D thuộc giao của (C') và \(\left(C_1\right)\).

Số nghiệm của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm của (C') và \(\left(C_1\right)\).

Câu 1: 

1:

a: Xét tứ giác OAMD có 

\(\widehat{OAM}+\widehat{ODM}=180^0\)

Do đó: OAMD là tứ giác nội tiếp

a: Độ dài cung MA của (O) là:

\(l_{MA}=\frac{\pi\cdot R\cdot\hat{AOM}}{180^{}}\) (1)

Xét (O') có \(\hat{BOM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

=>\(\hat{BO^{\prime}M}=2\cdot\hat{BOM}=2\cdot\hat{MOA}\)

Độ dài cung MB của (O') là:

\(l_{MB}=\frac{O^{\prime}M\cdot\pi\cdot\hat{MO^{\prime}B}}{180}=\frac{0,5\cdot OM\cdot\pi\cdot2\cdot\hat{MOA}}{180}=\frac{R\cdot\pi\cdot\hat{MOA}}{180}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra độ dài cung MA của (O)=độ dài cung MB của (O')

b: Diện tích hình quạt tròn OAM của (O) là:

\(S_{q\left(OAM\right)}=\frac{\pi\cdot R^2\cdot n}{360}=\frac{\pi\cdot10^2\cdot45}{360}=\pi\cdot12,5\) (cm^2)

Ta có: \(\hat{MO^{\prime}B}=2\cdot\hat{MOB}\)

\(=2\cdot45^0=90^0\)

Diện tích hình quạt tròn O'MB của (O') là:

\(S_{q\left(O^{\prime}MB\right)}=\frac{\pi\cdot\left(R^{\prime}\right)^2\cdot n}{360}=\frac{\pi\cdot\left(0,5R\right)^2\cdot90}{360}=\frac{\pi\cdot0,25\cdot R^2}{4}=\frac{\pi\cdot10^2}{16}=6,25\cdot\pi\) (cm^2)

Diện tích tam giác OO'B là:

\(S_{O^{\prime}OB}=\frac12\cdot O^{\prime}O\cdot O^{\prime}B=\frac12\cdot5\cdot5=\frac{25}{2}=12,5\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Diện tích cần tìm là:

\(S=S_{q\left(OAM\right)}-\left(S_{q\left(O^{\prime}MB\right)}+S_{O^{\prime}OB}\right)=12.5\pi-6,25\pi-12,5=6,25\pi-12,5\) \(\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

1: Xét (I) có

ΔAMC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔAMC vuông tại M

=>CM⊥DA tại M

Xét (J) có

ΔCNB nội tiếp

CB là đường kính

Do đó: ΔCNB vuông tại N

=>CN⊥DB tại N

Xét (O) có

ΔDAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔDAB vuông tại D

=>\(\hat{ADB}=90^0\)

Xét tứ giác DMCN có \(\hat{DMC}=\hat{DNC}=\hat{MDN}=90^0\)

nên DMCN là hình chữ nhật

2: Xét ΔDCA vuông tại C có CM là đường cao

nên \(DM\cdot DA=DC^2\left(1\right)\)

Xét ΔDCB vuông tại C có CN là đường cao

nên \(DN\cdot DB=DC^2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(DM\cdot DA=DN\cdot DB\)

=>\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)

Xét ΔDMN vuông tại D và ΔDBA vuông tại D có

\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)

Do đó: ΔDMN~ΔDBA

=>\(\hat{DMN}=\hat{DBA}\)

mà \(\hat{DMN}+\hat{AMN}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AMN}+\hat{ABN}=180^0\)

=>AMNB là tứ giác nội tiếp

c: ΔDNM~ΔDAB

=>\(\hat{DNM}=\hat{DAB}\)

Gọi Dx là tiếp tuyến tại D của (O)

=>OD⊥ Dx tại D

Xét (O) có

\(\hat{xDB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Dx và dây cung DB

\(\hat{DAB}\) là góc nội tiếp chắn cung DB

Do đó: \(\hat{xDB}=\hat{DAB}\)

=>\(\hat{xDB}=\hat{DNM}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Dx//MN

=>MN⊥OD

Kẻ OE ⊥ AB; OF ⊥ AC

Đặt AC=a, AM=b, AN=c

r 2 = a 2 2 + c - b 2 2

R 2 = a 2 2 + c + b 2 2

Ta chứng minh được:  a 2 + b 2 + c 2 = 2 R 2 + r 2